太陽系と天体の運動の問題

太陽のまわりを楕円軌道で公転している小天体がある。この小天体の公転周期は $27$ 年である。

軌道長半径を $a$［天文単位］、公転周期を $T$［年］で表すと、太陽のまわりを公転する天体についてケプラーの第 3 法則
$$\frac{a^3}{T^2}=1$$
が成り立つものとする。この小天体の軌道長半径は何天文単位か。

あるすい星が、太陽を 1 つの焦点とする楕円軌道を公転している。このすい星の公転周期は $64$ 年、近日点距離（近日点での太陽からの距離）は $1$ 天文単位である。

軌道長半径を $a$［天文単位］、公転周期を $T$［年］で表すと、ケプラーの第 3 法則 $\frac{a^3}{T^2}=1$ が成り立つ。また、近日点距離を $q$、遠日点距離を $Q$ とすると、軌道長半径は $a=\frac{q+Q}{2}$ である。このすい星の遠日点距離は何天文単位か。

太陽のまわりを半径 $7.0$ 天文単位の円軌道で公転する仮想的な惑星 X へ、地球から探査機を送る。地球と惑星 X は、太陽を中心とする同一平面上の円軌道を同じ向きに一定の速さで公転しており、地球の軌道半径は $1.0$ 天文単位、公転周期は $1.0$ 年、惑星 X の公転周期は $18.5$ 年とする。

探査機は、近日点が地球の軌道上（太陽から $1.0$ 天文単位）、遠日点が惑星 X の軌道上（太陽から $7.0$ 天文単位）にある楕円軌道に乗り、近日点で打ち上げられて遠日点まで半周したところで惑星 X に到着する。探査機の運動にはケプラーの第 3 法則 $\frac{a^3}{T^2}=1$（$a$ は軌道長半径〔天文単位〕、$T$ は公転周期〔年〕）が成り立ち、探査機は地球と同じ向きに公転するものとする。また、地球や惑星 X の重力の影響は考えないものとする。

探査機が遠日点で惑星 X に出会うためには、打ち上げの瞬間に、太陽から見て惑星 X が地球より公転の向きに何度先行していればよいか。小数第 1 位を四捨五入して整数で答えよ。

地球の外側を公転する惑星 X がある。地球と惑星 X は、太陽を中心とする同一平面上の円軌道を、同じ向きにそれぞれ一定の速さで公転している。惑星 X の会合周期は $780$ 日である。

ある日、惑星 X は衝の位置にあった（太陽から見て地球と惑星 X が同じ方向にある）。その後、太陽から見た地球の方向と惑星 X の方向のなす角はしだいに大きくなった。衝の日から数えて、このなす角が初めて $120^{\circ }$ になるのは何日後か。

ある恒星のまわりを、地球とよく似た惑星 P と、P より内側を回る惑星 Q が、同じ平面上で恒星を中心とする円軌道を描いて公転している。惑星 P と恒星の距離を $1\text{AU}$ とする。

惑星 P から観測すると、惑星 Q の最大離角（P から見た恒星と Q の方向がなす角の最大値）は $30^{\circ }$ であった。惑星 Q の軌道半径は何 $\text{AU}$ か。分数で答えよ。