太陽系と天体の運動の問題

ある恒星のまわりを、地球とよく似た惑星 P と、P より内側を回る惑星 Q が、同じ平面上で恒星を中心とする円軌道を描いて公転している。惑星 P と恒星の距離を $1\text{AU}$ とする。

惑星 P から観測すると、惑星 Q の最大離角（P から見た恒星と Q の方向がなす角の最大値）は $30^{\circ }$ であった。惑星 Q の軌道半径は何 $\text{AU}$ か。分数で答えよ。

地球の外側で、太陽を中心とする円軌道を地球と同じ向きに公転している小惑星がある。この小惑星の軌道半径は $4$ 天文単位である。地球の公転周期を $E=1$ 年とする。

軌道半径を $a$［天文単位］、公転周期を $P$［年］で表すとケプラーの第 3 法則 $\frac{a^3}{P^2}=1$ が成り立ち、地球より外側を公転する天体の会合周期 $S$［年］は
$$\frac{1}{S}=\frac{1}{E}-\frac{1}{P}$$
で表される。この小惑星の会合周期は何年か。分数で答えよ。

太陽のまわりを半径 $7.0$ 天文単位の円軌道で公転する仮想的な惑星 X へ、地球から探査機を送る。地球と惑星 X は、太陽を中心とする同一平面上の円軌道を同じ向きに一定の速さで公転しており、地球の軌道半径は $1.0$ 天文単位、公転周期は $1.0$ 年、惑星 X の公転周期は $18.5$ 年とする。

探査機は、近日点が地球の軌道上（太陽から $1.0$ 天文単位）、遠日点が惑星 X の軌道上（太陽から $7.0$ 天文単位）にある楕円軌道に乗り、近日点で打ち上げられて遠日点まで半周したところで惑星 X に到着する。探査機の運動にはケプラーの第 3 法則 $\frac{a^3}{T^2}=1$（$a$ は軌道長半径〔天文単位〕、$T$ は公転周期〔年〕）が成り立ち、探査機は地球と同じ向きに公転するものとする。また、地球や惑星 X の重力の影響は考えないものとする。

探査機が遠日点で惑星 X に出会うためには、打ち上げの瞬間に、太陽から見て惑星 X が地球より公転の向きに何度先行していればよいか。小数第 1 位を四捨五入して整数で答えよ。

ある惑星 X は、太陽を中心とする半径 $1.52\text{AU}$ の円軌道を公転している。地球は、太陽を中心とする半径 $1.00\text{AU}$ の円軌道を、X と同じ平面上で公転している。

X が衝の位置にあるとき、地球から見た X の視直径は $18$ 秒角であった。X は球形で、質量は $6.4\times 10^{23}\text{kg}$ である。

次の値を用いる。

• $1\text{AU}=1.5\times 10^8\text{km}$
• $1$ 秒角 $=4.8\times 10^{-6}\text{rad}$
• 円周率 $\pi =3.14$

視直径は十分小さいので、X の直径 $D$ は、地球から X までの距離 $d$ と視直径 $\theta$（ラジアン）を用いて $D=d\theta$ と表せるものとする。

X の平均密度は何 ${\text{g/cm}}^3$ か。有効数字 $2$ 桁で求めよ。

ある内惑星 Q は、太陽を中心とする半径 $0.64$ 天文単位の円軌道上を一定の速さで公転している。地球は半径 $1$ 天文単位の円軌道上を、Q と同じ向きに一定の速さで公転している。地球の公転周期を $1$ 年とし、$1$ 年 $=365$ 日とする。

ケプラーの第三法則を用いて、Q が内合になってから次に内合になるまでの日数を求めよ。答えは小数第 $1$ 位を四捨五入して整数で答えよ。