最大離角と内惑星の軌道半径

最大離角のとき地球から見た視線が内惑星の円軌道に接することから $sin E = \frac{a}{1 AU}$ を使い、最大離角から内惑星の軌道半径を、軌道半径から最大離角を求められる。そのとき太陽から見た地球と内惑星のなす角 $9 0^{\circ} - E$ も求められる

前提

三角比の定義と値（数学I 図形と計量）

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算数中学高校大学大学院

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三角比の定義と値（数学I 図形と計量）

説明

地球より内側を回る内惑星（水星・金星）について、地球から見て太陽から最も離れて見えるときの角度（最大離角）と、その惑星の軌道半径を結びつけられるようになります。軌道を円とみなすと $sin E = \frac{a}{1 AU}$ という簡単な関係が成り立ち、最大離角 $E$ から軌道半径 $a$ を、軌道半径から最大離角を計算できます。あわせて、そのとき太陽から見た地球と内惑星の方向のなす角 $9 0^{\circ} - E$ も求められます。

なぜそうしてよいのか

太陽を S、地球を P、内惑星を V とします。地球と内惑星はどちらも太陽を中心とする円軌道を回っているとし、地球の軌道半径を $1 AU$ （天文単位）、内惑星の軌道半径を $a$ （AU）とします（ $a < 1$ ）。地球から見て、太陽の方向と内惑星の方向のなす角を離角といいます。内惑星は地球より内側の円の上を動くので、地球から見ると太陽の両側のある範囲の中だけを行き来し、離角には最大値があります。これが最大離角 $E$ です。

地球 P から内惑星の軌道の円を見るとき、円の上の点 V に向かう視線のうち、太陽の方向から最も大きく開くのは、視線が円にちょうど接するときです。それより開くと視線が円と交わらなくなる（その方向に内惑星は存在しない）からです。円の接線は接点で半径と垂直なので、最大離角のとき $∠ SVP = 9 0^{\circ}$ となり、三角形 SVP は V を直角とする直角三角形になります。この直角三角形で、斜辺は $SP = 1 AU$ 、角 $E$ （地球 P の角）の向かいの辺は $SV = a$ なので、三角比の定義から
$sin E = \frac{SV}{SP} = \frac{a}{1 AU}$
が成り立ちます。 $a$ を AU で表せば、 $a = sin E$ です。

また、三角形の内角の和は $18 0^{\circ}$ なので、太陽 S での角、つまり太陽から見た地球の方向と内惑星の方向のなす角は $∠ PSV = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - E = 9 0^{\circ} - E$ です。なお、内惑星が太陽の東側に見える最大離角（東方最大離角）でも西側に見える最大離角（西方最大離角）でも、図形は左右が入れ替わるだけなので、同じ関係が成り立ちます。

手順

太陽 S・地球 P・内惑星 V の 3 点を考え、最大離角のときは視線 PV が内惑星の軌道に接するので $∠ SVP = 9 0^{\circ}$ の直角三角形になることを確認する。
斜辺 $SP = 1 AU$ 、角 $E$ の向かいの辺 $SV = a$ から、 $sin E = \frac{a}{1 AU}$ を書く。
最大離角 $E$ がわかっていれば $a = sin E$ （AU）を計算する。
軌道半径 $a$ がわかっていれば、 $sin E = a$ となる $0^{\circ} < E < 9 0^{\circ}$ の角を求める。
太陽から見た地球と内惑星のなす角が必要なら、内角の和から $9 0^{\circ} - E$ を求める。

例題

ある内惑星の軌道と地球の軌道は、どちらも太陽を中心とする同じ平面上の円であるとする。地球から観測したこの内惑星の最大離角は $3 0^{\circ}$ であった。地球の軌道半径を 1 天文単位とするとき、この内惑星の軌道半径は何天文単位か。

例題の解答

手順 1: 太陽を S、地球を P、内惑星を V とする。最大離角のとき視線 PV は内惑星の軌道に接するので、 $∠ SVP = 9 0^{\circ}$ の直角三角形 SVP ができる。

手順 2: 斜辺は $SP = 1$ 天文単位、地球での角 $E = 3 0^{\circ}$ の向かいの辺が $SV = a$ なので、 $sin E = \frac{a}{1}$ 。

手順 3: $a = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ 。

（手順 5: このとき太陽から見た地球と内惑星のなす角は $9 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ である。）

よって軌道半径は $\frac{1}{2}$ 天文単位。

答え: $\frac{1}{2}$

よくある誤り

直角の位置を地球や太陽にしてしまう誤り。正しくは、視線が軌道に接する点、つまり内惑星 V の位置で $∠ SVP = 9 0^{\circ}$ になる。そのため斜辺は太陽と地球を結ぶ $SP = 1 AU$ である。
$sin$ と $cos$ や $tan$ を取り違えて $a = cos E$ や $a = tan E$ としてしまう誤り。正しくは、角 $E$ の向かいの辺 $a$ と斜辺 $1$ の比なので $a = sin E$ （例: $E = 3 0^{\circ}$ なら $a = \frac{1}{2}$ 。 $cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ ではない）。
太陽から見た地球と内惑星のなす角を $E$ や $18 0^{\circ} - E$ としてしまう誤り。正しくは、三角形 SVP の内角の和から $18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - E = 9 0^{\circ} - E$ である（ $E = 3 0^{\circ}$ なら $6 0^{\circ}$ ）。
外惑星にもこの関係を使ってしまう誤り。正しくは、この方法は地球より内側を回る内惑星（ $a < 1 AU$ ）だけに使える。外惑星は地球から見て太陽と反対の方向にも見えるので、最大離角というものがない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある恒星のまわりを、地球とよく似た惑星 P と、P より内側を回る惑星 Q が、同じ平面上で恒星を中心とする円軌道を描いて公転している。惑星 P と恒星の距離を $1 AU$ とする。
惑星 P から観測すると、惑星 Q の最大離角（P から見た恒星と Q の方向がなす角の最大値）は $3 0^{\circ}$ であった。惑星 Q の軌道半径は何 $AU$ か。分数で答えよ。

この技能を使う問題

難易度 4（国公立二次の標準レベル）
ある内惑星 V を地球から観測したところ、最大離角は $3 0^{\circ}$ であった。地球と V はどちらも太陽を中心とする同一平面上の円軌道を、同じ向きに一定の速さで公転しているものとする。地球の軌道半径を $1$ 天文単位、公転周期を $365$ 日とする。ケプラーの第三法則が成り立つものとし、必要なら $2 = 1.41$ を用いよ。
V が東方最大離角になってから、次に内合になるまでの日数を求めよ。答えは小数第 $1$ 位を四捨五入して整数で答えよ。

この技能の次に学べること

惑星の配置の変化と経過時間（高校地学太陽系と天体の運動）