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惑星の配置の変化と経過時間

太陽から見た地球と惑星の角度の差が 1 日あたり ずつ変わることを使って、最大離角から内合まで、衝から東矩までなど、ある配置から別の配置になるまでの日数を求められる

前提

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算数中学高校大学大学院

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一覧で見る（前提が先）
  1. 惑星の公転と位置関係 （中学理科 地球と宇宙）
  2. 会合周期と公転周期 （中学理科 地球と宇宙）
  3. 分数のたし算・ひき算 （算数 計算と数のきまり）
  4. 小数の四則計算 （算数 計算と数のきまり）
  5. 正負の数の加法・減法 （中学数学 数と式）
  6. 分数のかけ算・わり算 （算数 計算と数のきまり）
  7. 四則の混じった計算の順序 （算数 計算と数のきまり）
  8. 正負の数の乗除・累乗と四則混合 （中学数学 数と式）
  9. 約数の見つけ方 （算数 整数の性質）
  10. 素因数分解と約数の個数 （算数 整数の性質）
  11. 平方根の意味と根号の簡単化 （中学数学 数と式）
  12. 根号の乗除と加減 （中学数学 数と式）
  13. 指数の拡張と指数関数 （数学II 指数関数と対数関数）
  14. ケプラーの第 3 法則による公転周期と軌道長半径 （高校地学 太陽系と天体の運動）
  15. 会合周期とケプラーの法則の組合せ （高校地学 太陽系と天体の運動）
  16. 三角形・四角形の面積 （算数 平面図形）
  17. 三平方の定理 （中学数学 相似と三平方の定理）
  18. 特別な直角三角形の辺の比 （中学数学 相似と三平方の定理）
  19. 小数と分数のまじった計算 （算数 計算と数のきまり）
  20. 最大公約数と最小公倍数 （算数 整数の性質）
  21. 比の性質と簡単な比 （算数 割合と比）
  22. 三角形の角の大きさ （算数 平面図形）
  23. 相似な三角形と長さの比 （算数 平面図形）
  24. 対頂角と平行線の同位角・錯角 （中学数学 平面図形）
  25. 三角形の相似条件と対応する辺の長さ （中学数学 相似と三平方の定理）
  26. 三角比の定義と値 （数学I 図形と計量）
  27. 最大離角と内惑星の軌道半径 （高校地学 太陽系と天体の運動）

説明

惑星が、ある配置（最大離角・衝・内合・矩など）から別の配置になるまでに何日かかるかを求められるようになります。鍵は、太陽から見た地球と惑星の方向のなす角が、1 日あたり （ は会合周期〔日〕）ずつ一定の割合で変わることです。2 つの配置での角度の差を求め、それを 1 日あたりの変化で割れば日数が出ます。

なぜそうしてよいのか

地球と惑星の軌道を、太陽を中心とする同じ平面上の円とし、どちらも同じ向きに一定の速さで回っているとします。1 日に回る角度は、地球が 、惑星が です（・ は公転周期〔日〕）。太陽から見た地球の方向と惑星の方向のなす角を「離れ角」とよぶことにすると、その角は 1 日あたり両者の差だけ変わります。会合周期 は、この離れ角がちょうど 変わって元の並びに戻るまでの時間なので、離れ角は 1 日あたり

ずつ変わります（会合周期の式 を 倍したものと同じです）。したがって、ある配置から別の配置までの離れ角の変化が なら、かかる日数は です。

主な配置での離れ角は次のとおりです。外惑星: 衝（太陽・地球・惑星の順に一直線）で 、合（惑星が太陽の向こう側）で 。内惑星: 内合（太陽・内惑星・地球の順）で 、外合（内惑星が太陽の向こう側）で 。最大離角では、太陽・内惑星・地球が内惑星を直角とする直角三角形をつくり、離れ角は （ は最大離角の角度）でした。外惑星の矩（地球から見て太陽と惑星の方向が直角）では、地球を直角とする直角三角形ができ、離れ角 は （ は惑星の軌道半径〔AU〕）で決まります。

どの配置が先に来るかは、速いほうが遅いほうを追い越していく様子で考えます。内惑星は地球より速いので、内合 → 西方最大離角 → 外合 → 東方最大離角 → 内合 の順に進みます。外惑星は地球より遅いので、地球が追い越していき、合 → 西矩 → 衝 → 東矩 → 合 の順です。順番を確かめてから、角度の差を正しくとることが大切です。

手順

  1. 2 つの配置が、会合周期 1 回の中でどの順に起こるかを確かめる（内惑星: 内合 → 西方最大離角 → 外合 → 東方最大離角 → 内合、外惑星: 合 → 西矩 → 衝 → 東矩 → 合）。

  2. それぞれの配置での、太陽から見た地球と惑星のなす角を求める（内合・衝 、外合・合 、最大離角 、矩は ）。

  3. 2 つの配置の間で、この角が何度変わるか（）を求める。

  4. 1 日あたりの変化 で割って、日数 を求める（ が年で与えられたら日に直す）。

  5. 問題文の丸め方に従って答える。

例題

ある内惑星と地球の軌道は、どちらも太陽を中心とする同じ平面上の円で、両者は同じ向きに一定の速さで公転しているとする。この内惑星の最大離角は 、会合周期は 日である。この内惑星が東方最大離角になってから、次に内合になるまでに何日かかるか。

例題の解答

手順 1: 内惑星は内合 → 西方最大離角 → 外合 → 東方最大離角 → 内合 の順に進むので、東方最大離角の次に来るのが内合である。

手順 2: 最大離角のとき、太陽から見た地球と内惑星のなす角は 。内合のときは 。

手順 3: その間に角は 変わる。

手順 4: 1 日あたり ずつ変わるので、日数は 日。

よって 33 日。

答え:

よくある誤り

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること