会合周期と公転周期

地球の外側を公転する惑星 X がある。地球と惑星 X は、太陽を中心とする円の上を同じ向きに一定の速さで公転しているものとし、地球の公転周期を $12$ か月とする。ある日、太陽・地球・惑星 X がこの順に一直線上に並んだ。その後、太陽・地球・惑星 X が再びこの順に一直線上に並んだのは、$18$ か月後であった。惑星 X の公転周期は何か月ですか。

地球と、地球より内側を公転する惑星 Z は、太陽を中心とする同じ平面上の円の軌道を、同じ向きに一定の速さで公転しているものとする。地球の公転周期を 360 日とする。

ある日、太陽・惑星 Z・地球がこの順に一直線に並び、惑星 Z は太陽と同じ方向にあったため、見ることができなかった。その後、惑星 Z は明け方の東の空に見えるようになった。観察を続けると、太陽・惑星 Z・地球が次にこの順に一直線に並んだのは、最初に並んだ日から 450 日後であった。

惑星 Z の公転周期は何日ですか。

ある内惑星 Q は、太陽を中心とする半径 $0.64$ 天文単位の円軌道上を一定の速さで公転している。地球は半径 $1$ 天文単位の円軌道上を、Q と同じ向きに一定の速さで公転している。地球の公転周期を $1$ 年とし、$1$ 年 $=365$ 日とする。

ケプラーの第三法則を用いて、Q が内合になってから次に内合になるまでの日数を求めよ。答えは小数第 $1$ 位を四捨五入して整数で答えよ。

地球と、地球より内側を公転する惑星 Z は、太陽を中心とする同じ平面上の円の軌道を、同じ向きに一定の速さで公転しているものとする。地球の公転周期は 360 日とする。

ある日、太陽・惑星 Z・地球がこの順に一直線に並んだ。このため、惑星 Z は太陽と同じ方向にあり、地球からは観察できなかった。

その後、地球・太陽・惑星 Z がこの順に一直線に並び、惑星 Z が太陽の向こう側にきた。この状態に初めてなったのは、太陽・惑星 Z・地球が一直線に並んだ日から 270 日後であった。

惑星 Z の公転周期は何日ですか。

ある外惑星 P を地球から観測したところ、P が衝になってから次に衝になるまでの期間（会合周期）は $417$ 日であった。地球と P はどちらも太陽を中心とする円軌道上を同じ向きに一定の速さで公転しているものとし、地球の公転周期を $365$ 日、地球の公転軌道の半径を $1$ 天文単位とする。

ケプラーの第三法則を用いて、P の公転軌道の半径は何天文単位か。小数第 1 位を四捨五入して整数で答えよ。

地球と、地球より外側を公転する惑星 X は、太陽を中心とする同じ平面上の円の軌道を、同じ向きに一定の速さで公転しているものとする。地球の公転周期は 12 か月で、地球は太陽を中心として 1 か月に $30^{\circ }$ ずつ公転するものとする。

ある日、太陽・地球・惑星 X がこの順に一直線上に並び、真夜中に惑星 X が南の空に見えた。このあと、太陽・地球・惑星 X がふたたびこの順に一直線上に並んだのは、20 か月後が初めてであった。

惑星 X の公転周期は何か月ですか。

地球と、地球より外側を公転する惑星 X は、どちらも太陽を中心とする同じ平面上の円の軌道を、同じ向きに一定の速さで公転しているものとする。地球の公転周期を 360 日とする。

ある日の真夜中（午前 0 時）、惑星 X は真南の空に見えた。このとき、太陽・地球・惑星 X はこの順に一直線上に並んでいた。その後、観察を続けたところ、太陽・地球・惑星 X が再びこの順に一直線上に並んだのは、この日からはじめて 900 日後であった。

惑星 X の公転周期は何日ですか。

地球と、地球より内側を公転する惑星 Y は、どちらも太陽を中心とする同じ平面上の円の軌道を、同じ向きに一定の速さで公転しているものとする。地球の公転周期を 360 日、惑星 Y の公転周期を 90 日とする。

ある日、太陽・惑星 Y・地球がこの順に一直線上に並んだ。この日を 0 日目とする。この後、惑星 Y・太陽・地球がこの順に一直線上に並ぶ（惑星 Y が太陽の向こう側に来る）ことが何回か起こる。0 日目から数えて 3 回目にこの並び方になるのは何日後ですか。