探査機の楕円軌道と打ち上げの時期

近日点が地球軌道上、遠日点が目的の惑星の軌道上にある楕円軌道の飛行時間と、その間に惑星が公転する角度から、打ち上げの瞬間に惑星が地球より何度先行していればよいかを求められる

前提

楕円軌道の近日点・遠日点距離と公転周期（高校地学太陽系と天体の運動）
惑星の配置の変化と経過時間（高校地学太陽系と天体の運動）

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算数中学高校大学大学院

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指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
ケプラーの第 3 法則による公転周期と軌道長半径（高校地学太陽系と天体の運動）
楕円軌道の近日点・遠日点距離と公転周期（高校地学太陽系と天体の運動）
惑星の公転と位置関係（中学理科地球と宇宙）
会合周期と公転周期（中学理科地球と宇宙）
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三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
最大離角と内惑星の軌道半径（高校地学太陽系と天体の運動）
惑星の配置の変化と経過時間（高校地学太陽系と天体の運動）

説明

地球から外側の惑星へ探査機を送るとき、近日点が地球の軌道上、遠日点が目的の惑星の軌道上にある楕円軌道を半周させる方法があります。この技能では、その飛行時間を求め、探査機が遠日点に着いたときにちょうど惑星がそこにいるためには、打ち上げの瞬間に惑星が地球より何度先に進んでいればよいかを求められるようになります。惑星探査の「打ち上げのタイミング」を決める計算です。

なぜそうしてよいのか

地球の軌道半径を $1 AU$ 、目的の惑星の軌道半径を $a_{p}$ 〔AU〕とし、どちらも太陽を中心とする同じ平面上の円軌道を同じ向きに一定の速さで回るとします。探査機は地球の位置（近日点、太陽から $1 AU$ ）を出発し、太陽をはさんで反対側の遠日点（太陽から $a_{p}$ ）で惑星の軌道に届きます。この楕円軌道の軌道長半径は、近日点距離と遠日点距離の平均で $a = \frac{1 + a _{p}}{2}$ です。ケプラーの第 3 法則 $a^{3} = T^{2}$ （ $a$ は AU、 $T$ は年）から公転周期 $T$ が決まり、近日点から遠日点までは半周なので、飛行時間は $t = \frac{T}{2}$ です。

探査機は、太陽から見て出発点からちょうど $18 0^{\circ}$ 回ったところで惑星の軌道に着きます。そこで惑星と出会うには、惑星もその時刻にちょうどそこへ来ていなければなりません。惑星は 1 年に $\frac{36 0 ^{\circ}}{P}$ （ $P$ は惑星の公転周期〔年〕、 $P = a_{p}^{\frac{3}{2}}$ ）ずつ回るので、飛行時間 $t$ の間に $\frac{36 0 ^{\circ}}{P} \times t$ だけ進みます。到着点は出発時の地球の方向から $18 0^{\circ}$ 先なので、打ち上げの瞬間の惑星は、太陽から見て地球の方向より
$θ = 18 0^{\circ} - \frac{36 0 ^{\circ}}{P} \times t$
だけ先（公転の向きに進んだ側）にいればよいことになります。

このように「先行角」は、探査機が回る $18 0^{\circ}$ から、その間に惑星自身が進む角度を差し引いたものです。外側の惑星ほど、飛行時間は長くなるものの惑星の公転がそれ以上にゆっくりになるので、飛行中に惑星が進む角度は小さくなり、必要な先行角は大きくなります。ただし $18 0^{\circ}$ に近づくわけではなく、たとえば $a_{p} = 4$ では約 $9 1^{\circ}$ で、どんなに遠い惑星でも約 $11 6^{\circ}$ を超えません。なお、この先行角の配置は、太陽から見た地球と惑星の角の差が 1 日あたり $\frac{36 0 ^{\circ}}{S}$ ずつ変わるので、会合周期 $S$ ごとに 1 回ずつめぐってきます。これが打ち上げの機会が限られる理由です。

手順

探査機の楕円軌道の軌道長半径を求める: $a = \frac{1 + a _{p}}{2}$ 〔AU〕。
ケプラーの第 3 法則で探査機の軌道の公転周期を求める: $T = a^{\frac{3}{2}}$ 〔年〕。飛行時間は半周分で $t = \frac{T}{2}$ 。
目的の惑星の公転周期を求める（与えられていなければ $P = a_{p}^{\frac{3}{2}}$ ）。
飛行時間の間に惑星が進む角度を求める: $\frac{36 0 ^{\circ}}{P} \times t$ 。
打ち上げ時に惑星が地球より先行している角度を求める: $θ = 18 0^{\circ} - \frac{36 0 ^{\circ}}{P} \times t$ 。問題文の丸め方に従って答える。

例題

地球の軌道（半径 $1 AU$ ）と、ある外惑星の軌道（半径 $4 AU$ ）は、どちらも太陽を中心とする同じ平面上の円で、両者は同じ向きに一定の速さで公転している。地球の軌道上を近日点、この外惑星の軌道上を遠日点とする楕円軌道に探査機を乗せ、近日点から遠日点まで半周させて外惑星に到着させたい。打ち上げの瞬間に、太陽から見て外惑星は地球より公転の向きに何度先行していればよいか。小数第 1 位を四捨五入して整数で答えよ。ただし、軌道長半径を $a$ 〔AU〕、公転周期を $T$ 〔年〕としたとき $\frac{a ^{3}}{T ^{2}} = 1$ が成り立ち、 $10 = 3.16$ とする。探査機の飛行中、地球や惑星の重力の影響は考えない。

例題の解答

手順 1: 探査機の軌道の軌道長半径は $a = \frac{1 + 4}{2} = 2.5 AU$ 。

手順 2: $T = 2. 5^{\frac{3}{2}} = 2.5 2.5$ 。 $2.5 = \frac{10}{4} = \frac{10}{2} = 1.58$ なので、 $T = 2.5 \times 1.58 = 3.95$ 年。飛行時間は $t = \frac{3.95}{2} = 1.975$ 年。

手順 3: 外惑星の公転周期は $P = 4^{\frac{3}{2}} = (4)^{3} = 8$ 年。

手順 4: 飛行中に外惑星が進む角度は $\frac{36 0 ^{\circ}}{8} \times 1.975 = 4 5^{\circ} \times 1.975 = 88.87 5^{\circ}$ 。

手順 5: 先行角は $θ = 18 0^{\circ} - 88.87 5^{\circ} = 91.12 5^{\circ}$ 。小数第 1 位を四捨五入して $9 1^{\circ}$ 。

よって、外惑星が地球より 91 度先行しているときに打ち上げればよい。

答え: $91$

よくある誤り

探査機の軌道の軌道長半径を目的の惑星の軌道半径 $a_{p}$ や $1 + a_{p}$ としてしまう誤り。正しくは近日点距離と遠日点距離の平均で $a = \frac{1 + a _{p}}{2}$ である（ $a_{p} = 4$ なら $2.5 AU$ ）。
飛行時間を楕円軌道の公転周期 $T$ そのものとしてしまう誤り。正しくは近日点から遠日点までの半周なので $t = \frac{T}{2}$ である（ $T = 3.95$ 年なら $t = 1.975$ 年）。
惑星が飛行中に進む角度を、探査機の周期や地球の周期を使って計算してしまう誤り。正しくは、惑星自身の公転周期 $P$ を使って $\frac{36 0 ^{\circ}}{P} \times t$ である（ $P = 8$ 年、 $t = 1.975$ 年なら $88.87 5^{\circ}$ ）。
惑星が進む角度そのものを先行角としてしまう誤り。正しくは、探査機は太陽から見て $18 0^{\circ}$ 先で惑星と出会うので、先行角は $θ = 18 0^{\circ} - \frac{36 0 ^{\circ}}{P} \times t$ である（ $88.87 5^{\circ}$ ではなく $91.12 5^{\circ}$ ）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
太陽のまわりを半径 $7.0$ 天文単位の円軌道で公転する仮想的な惑星 X へ、地球から探査機を送る。地球と惑星 X は、太陽を中心とする同一平面上の円軌道を同じ向きに一定の速さで公転しており、地球の軌道半径は $1.0$ 天文単位、公転周期は $1.0$ 年、惑星 X の公転周期は $18.5$ 年とする。
探査機は、近日点が地球の軌道上（太陽から $1.0$ 天文単位）、遠日点が惑星 X の軌道上（太陽から $7.0$ 天文単位）にある楕円軌道に乗り、近日点で打ち上げられて遠日点まで半周したところで惑星 X に到着する。探査機の運動にはケプラーの第 3 法則 $\frac{a ^{3}}{T ^{2}} = 1$ （ $a$ は軌道長半径〔天文単位〕、 $T$ は公転周期〔年〕）が成り立ち、探査機は地球と同じ向きに公転するものとする。また、地球や惑星 X の重力の影響は考えないものとする。
探査機が遠日点で惑星 X に出会うためには、打ち上げの瞬間に、太陽から見て惑星 X が地球より公転の向きに何度先行していればよいか。小数第 1 位を四捨五入して整数で答えよ。

この技能を使う問題

難易度 3（共通テストレベル）
地球から火星へ探査機を送る。地球と火星は、太陽を中心とする同一平面上の円軌道を同じ向きに一定の速さで公転しているものとする。地球の軌道半径を $1.00$ 天文単位、公転周期を $1.00$ 年とし、火星の軌道半径を $1.52$ 天文単位、公転周期を $1.88$ 年とする。
探査機は地球の位置から、地球の公転と同じ向きに打ち上げられる。打ち上げ後は太陽の引力だけを受けて、太陽を 1 つの焦点とする楕円軌道を運動する。この楕円軌道の近日点は打ち上げ時の地球の位置、遠日点は火星の軌道上にあり、探査機は近日点から遠日点まで楕円軌道のちょうど半周を進んで、遠日点で火星に到着する。
このように探査機を火星に到着させるには、打ち上げの瞬間に、太陽から見て火星が地球よりも公転の向きに何度先行していなければならないか。小数第 1 位を四捨五入して整数で求めよ。ただし、太陽のまわりを公転する天体では、軌道長半径を天文単位、公転周期を年で表すと、ケプラーの第 3 法則は $\frac{a ^{3}}{T ^{2}} = 1$ と書けるものとする。必要なら $1.2 6^{3} = 2.00$ 、 $2 = 1.41$ を用いよ。