楕円軌道の近日点・遠日点距離と公転周期

楕円軌道の軌道長半径が近日点距離と遠日点距離の平均 $a = \frac{q + Q}{2}$ であることとケプラーの第 3 法則から、すい星の遠日点距離や、近日点から遠日点まで半周する探査機の飛行時間 $\frac{T}{2}$ を求められる

前提

ケプラーの第 3 法則による公転周期と軌道長半径（高校地学太陽系と天体の運動）

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算数中学高校大学大学院

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ケプラーの第 3 法則による公転周期と軌道長半径（高校地学太陽系と天体の運動）

説明

すい星や探査機のように細長い楕円軌道を回る天体について、太陽に最も近い点（近日点）と最も遠い点（遠日点）の距離と、公転周期を結びつけて計算できるようになります。鍵は、軌道長半径が近日点距離 $q$ と遠日点距離 $Q$ の平均 $a = \frac{q + Q}{2}$ になることです。これとケプラーの第 3 法則 $a^{3} = T^{2}$ （ $a$ は天文単位、 $T$ は年）を組み合わせると、公転周期からすい星の遠日点距離を求めたり、近日点から遠日点まで半周する探査機の飛行時間 $\frac{T}{2}$ を求めたりできます。

なぜそうしてよいのか

楕円は、2 つの焦点からの距離の和が一定な点の集まりで、太陽は楕円軌道の焦点の 1 つにあります。楕円のいちばん長い直径（長軸）の両端が近日点と遠日点で、太陽はこの長軸の上にあります。近日点と遠日点は太陽をはさんで反対側にあるので、長軸の長さは「太陽から近日点まで」と「太陽から遠日点まで」の和、つまり $q + Q$ です。軌道長半径 $a$ は長軸の半分なので
$a = \frac{q + Q}{2}$
となり、近日点距離と遠日点距離の平均になっています。逆に $a$ と $q$ がわかれば、 $Q = 2 a - q$ で遠日点距離が求まります。

ケプラーの第 3 法則 $\frac{a ^{3}}{T ^{2}} = 1$ （ $a$ を天文単位、 $T$ を年で表したとき）は、円軌道だけでなく楕円軌道でも成り立ち、 $a$ には軌道長半径を使います。したがって、近日点距離と遠日点距離から $a$ を出せば公転周期がわかり、公転周期から $a$ を出せば近日点距離・遠日点距離の一方からもう一方がわかります。

探査機を、地球の軌道上の点から別の惑星の軌道上の点まで、太陽をはさんだ反対側へ楕円軌道の半周分だけ飛ばすことがあります。楕円軌道は長軸について左右対称で、天体は近日点から遠日点へ向かう半分と、遠日点から近日点へ戻る半分を、鏡に映したように同じ速さの変化で動きます。そのため、近日点から遠日点まで（または遠日点から近日点まで）の時間は、ちょうど公転周期の半分 $\frac{T}{2}$ です。

手順

わかっている量を整理する: 近日点距離 $q$ 、遠日点距離 $Q$ 、軌道長半径 $a$ 、公転周期 $T$ のうちどれが与えられているか確かめる（距離は天文単位、時間は年）。
軌道長半径を求める: $q$ と $Q$ がわかっていれば $a = \frac{q + Q}{2}$ 、 $T$ がわかっていれば $a^{3} = T^{2}$ から $a = T^{\frac{2}{3}}$ 。
ケプラーの第 3 法則 $a^{3} = T^{2}$ で、必要ならもう一方の量を求める（ $T = a^{\frac{3}{2}}$ ）。
遠日点距離（または近日点距離）を求めるときは $Q = 2 a - q$ （ $q = 2 a - Q$ ）。
近日点から遠日点まで半周する時間を求めるときは $\frac{T}{2}$ を計算する。
問題文の単位・丸め方の指示に従って答える。

例題

あるすい星は太陽のまわりを楕円軌道で公転しており、公転周期は 64 年、近日点距離は $0.6$ 天文単位である。このすい星の遠日点距離は何天文単位か。ただし、軌道長半径を $a$ 〔天文単位〕、公転周期を $T$ 〔年〕としたとき、 $\frac{a ^{3}}{T ^{2}} = 1$ が成り立つものとする。

例題の解答

手順 1: $T = 64$ 年、 $q = 0.6$ 天文単位が与えられ、遠日点距離 $Q$ を求める。

手順 2: $a^{3} = T^{2} = 6 4^{2} = 4096$ 。 $64 = 4^{3}$ より $6 4^{2} = 4^{6} = (4^{2})^{3} = 1 6^{3}$ なので、 $a = 16$ 天文単位。（ $a = 6 4^{\frac{2}{3}} = (364)^{2} = 4^{2} = 16$ と計算してもよい。）

手順 4: $a = \frac{q + Q}{2}$ より $Q = 2 a - q = 2 \times 16 - 0.6 = 31.4$ 。

手順 6: 遠日点距離は 31.4 天文単位。

答え: $31.4$

よくある誤り

軌道長半径を $q + Q$ （長軸全体）としてしまう誤り。正しくは長軸の半分で $a = \frac{q + Q}{2}$ である（ $q = 1$ 、 $Q = 3$ なら $a = 2$ で $T = 22$ 年。 $a = 4$ として $T = 8$ 年とするのは誤り）。
遠日点距離を $Q = a - q$ や $Q = a + q$ としてしまう誤り。正しくは $q + Q = 2 a$ なので $Q = 2 a - q$ である（ $a = 16$ 、 $q = 0.6$ なら $Q = 31.4$ ）。
近日点から遠日点まで半周する時間を公転周期 $T$ そのものとしてしまう誤り。正しくは、半周なので $\frac{T}{2}$ である（例: 近日点距離 $1$ 天文単位、遠日点距離 $3$ 天文単位なら $a = 2$ 、 $T = 22$ 年で、半周の時間は $2$ 年）。
ケプラーの第 3 法則に近日点距離や遠日点距離をそのまま $a$ として代入してしまう誤り。正しくは、 $a^{3} = T^{2}$ の $a$ は軌道長半径（ $q$ と $Q$ の平均）である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
あるすい星が、太陽を 1 つの焦点とする楕円軌道を公転している。このすい星の公転周期は $64$ 年、近日点距離（近日点での太陽からの距離）は $1$ 天文単位である。
軌道長半径を $a$ ［天文単位］、公転周期を $T$ ［年］で表すと、ケプラーの第 3 法則 $\frac{a ^{3}}{T ^{2}} = 1$ が成り立つ。また、近日点距離を $q$ 、遠日点距離を $Q$ とすると、軌道長半径は $a = \frac{q + Q}{2}$ である。このすい星の遠日点距離は何天文単位か。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

探査機の楕円軌道と打ち上げの時期（高校地学太陽系と天体の運動）