太陽系と天体の運動の問題

太陽のまわりを楕円軌道で公転している小天体がある。この小天体の公転周期は $27$ 年である。

軌道長半径を $a$［天文単位］、公転周期を $T$［年］で表すと、太陽のまわりを公転する天体についてケプラーの第 3 法則
$$\frac{a^3}{T^2}=1$$
が成り立つものとする。この小天体の軌道長半径は何天文単位か。

地球の外側で、太陽を中心とする円軌道を地球と同じ向きに公転している小惑星がある。この小惑星の軌道半径は $4$ 天文単位である。地球の公転周期を $E=1$ 年とする。

軌道半径を $a$［天文単位］、公転周期を $P$［年］で表すとケプラーの第 3 法則 $\frac{a^3}{P^2}=1$ が成り立ち、地球より外側を公転する天体の会合周期 $S$［年］は
$$\frac{1}{S}=\frac{1}{E}-\frac{1}{P}$$
で表される。この小惑星の会合周期は何年か。分数で答えよ。

ある周期彗星は、太陽を 1 つの焦点とする楕円軌道上を公転しており、その公転周期は $64$ 年である。この彗星が太陽に最も近づくとき（近日点）の太陽からの距離は $0.6\text{au}$ であった。

地球の公転周期を $1$ 年、地球の軌道長半径を $1\text{au}$ とする。ケプラーの第 3 法則を用いて、この彗星が太陽から最も遠ざかるとき（遠日点）の太陽からの距離は何 au か求めよ。

太陽のまわりを半径 $1.0$ 天文単位の円軌道で公転する地球から、探査機を打ち上げた。探査機は、太陽からの距離が最も近い点（近日点）が地球軌道上にあり、太陽からの距離が最も遠い点（遠日点）が惑星 P の軌道上にある楕円軌道に乗り、近日点を出発してから遠日点に到達するまでの半周を飛行して、遠日点で惑星 P に到着した。この飛行にかかった時間は $4.0$ 年であった。

惑星 P は太陽を中心とする円軌道を公転しているものとする。探査機は打ち上げ後、太陽の重力だけを受けて運動するものとし、地球や惑星 P の重力の影響は無視する。地球の公転周期を $1.0$ 年とし、ケプラーの第 3 法則が成り立つものとする。また、必要ならば $\sqrt{7}=2.65$ を用いてよい。

惑星 P の公転周期は何年か。有効数字 2 桁で求めよ。

太陽のまわりを半径 $7.0$ 天文単位の円軌道で公転する仮想的な惑星 X へ、地球から探査機を送る。地球と惑星 X は、太陽を中心とする同一平面上の円軌道を同じ向きに一定の速さで公転しており、地球の軌道半径は $1.0$ 天文単位、公転周期は $1.0$ 年、惑星 X の公転周期は $18.5$ 年とする。

探査機は、近日点が地球の軌道上（太陽から $1.0$ 天文単位）、遠日点が惑星 X の軌道上（太陽から $7.0$ 天文単位）にある楕円軌道に乗り、近日点で打ち上げられて遠日点まで半周したところで惑星 X に到着する。探査機の運動にはケプラーの第 3 法則 $\frac{a^3}{T^2}=1$（$a$ は軌道長半径〔天文単位〕、$T$ は公転周期〔年〕）が成り立ち、探査機は地球と同じ向きに公転するものとする。また、地球や惑星 X の重力の影響は考えないものとする。

探査機が遠日点で惑星 X に出会うためには、打ち上げの瞬間に、太陽から見て惑星 X が地球より公転の向きに何度先行していればよいか。小数第 1 位を四捨五入して整数で答えよ。