太陽系と天体の運動の問題

太陽のまわりを半径 $7.0$ 天文単位の円軌道で公転する仮想的な惑星 X へ、地球から探査機を送る。地球と惑星 X は、太陽を中心とする同一平面上の円軌道を同じ向きに一定の速さで公転しており、地球の軌道半径は $1.0$ 天文単位、公転周期は $1.0$ 年、惑星 X の公転周期は $18.5$ 年とする。

探査機は、近日点が地球の軌道上（太陽から $1.0$ 天文単位）、遠日点が惑星 X の軌道上（太陽から $7.0$ 天文単位）にある楕円軌道に乗り、近日点で打ち上げられて遠日点まで半周したところで惑星 X に到着する。探査機の運動にはケプラーの第 3 法則 $\frac{a^3}{T^2}=1$（$a$ は軌道長半径〔天文単位〕、$T$ は公転周期〔年〕）が成り立ち、探査機は地球と同じ向きに公転するものとする。また、地球や惑星 X の重力の影響は考えないものとする。

探査機が遠日点で惑星 X に出会うためには、打ち上げの瞬間に、太陽から見て惑星 X が地球より公転の向きに何度先行していればよいか。小数第 1 位を四捨五入して整数で答えよ。

ある周期彗星は、太陽を 1 つの焦点とする楕円軌道上を公転しており、その公転周期は $64$ 年である。この彗星が太陽に最も近づくとき（近日点）の太陽からの距離は $0.6\text{au}$ であった。

地球の公転周期を $1$ 年、地球の軌道長半径を $1\text{au}$ とする。ケプラーの第 3 法則を用いて、この彗星が太陽から最も遠ざかるとき（遠日点）の太陽からの距離は何 au か求めよ。

地球から火星へ探査機を送る。地球と火星は、太陽を中心とする同一平面上の円軌道を同じ向きに一定の速さで公転しているものとする。地球の軌道半径を $1.00$ 天文単位、公転周期を $1.00$ 年とし、火星の軌道半径を $1.52$ 天文単位、公転周期を $1.88$ 年とする。

探査機は地球の位置から、地球の公転と同じ向きに打ち上げられる。打ち上げ後は太陽の引力だけを受けて、太陽を 1 つの焦点とする楕円軌道を運動する。この楕円軌道の近日点は打ち上げ時の地球の位置、遠日点は火星の軌道上にあり、探査機は近日点から遠日点まで楕円軌道のちょうど半周を進んで、遠日点で火星に到着する。

このように探査機を火星に到着させるには、打ち上げの瞬間に、太陽から見て火星が地球よりも公転の向きに何度先行していなければならないか。小数第 1 位を四捨五入して整数で求めよ。ただし、太陽のまわりを公転する天体では、軌道長半径を天文単位、公転周期を年で表すと、ケプラーの第 3 法則は $\frac{a^3}{T^2}=1$ と書けるものとする。必要なら $1.26^3=2.00$、$\sqrt{2}=1.41$ を用いよ。

黄道の北極の方向にある恒星 S を 1 年間観測した。S は、はるか遠方の恒星を背景として、天球上で 1 年周期の小さな円を描くように見えた。その円の直径を角度で表すと $0.050^{\prime \prime }$ であった。

地球は太陽を中心とする半径 $1$ 天文単位の円軌道を公転しているものとする。$1$ パーセクは、年周視差（恒星から地球の公転軌道半径を見込む角）が $1^{\prime \prime }$ となる距離であり、$1$ パーセク $=3.26$ 光年とする。年周視差は十分に小さく、恒星までの距離は年周視差に反比例するとしてよい。

恒星 S までの距離は何光年か。有効数字 2 桁で求めよ。

ある内惑星 Q は、太陽を中心とする半径 $0.64$ 天文単位の円軌道上を一定の速さで公転している。地球は半径 $1$ 天文単位の円軌道上を、Q と同じ向きに一定の速さで公転している。地球の公転周期を $1$ 年とし、$1$ 年 $=365$ 日とする。

ケプラーの第三法則を用いて、Q が内合になってから次に内合になるまでの日数を求めよ。答えは小数第 $1$ 位を四捨五入して整数で答えよ。