太陽系と天体の運動

太陽のまわりを楕円軌道で公転している小天体がある。この小天体の公転周期は $27$ 年である。

軌道長半径を $a$［天文単位］、公転周期を $T$［年］で表すと、太陽のまわりを公転する天体についてケプラーの第 3 法則
$$\frac{a^3}{T^2}=1$$
が成り立つものとする。この小天体の軌道長半径は何天文単位か。

ある恒星のまわりを、地球とよく似た惑星 P と、P より内側を回る惑星 Q が、同じ平面上で恒星を中心とする円軌道を描いて公転している。惑星 P と恒星の距離を $1\text{AU}$ とする。

惑星 P から観測すると、惑星 Q の最大離角（P から見た恒星と Q の方向がなす角の最大値）は $30^{\circ }$ であった。惑星 Q の軌道半径は何 $\text{AU}$ か。分数で答えよ。

ある恒星の年周視差を測定したところ、$0.25$ 秒角（$0.25^{\prime \prime }$）であった。

年周視差 $p$〔秒角〕の恒星までの距離 $d$〔pc〕は
$$d=\frac{1}{p}$$
で求められる。この恒星までの距離は何 pc（パーセク）か。

地球から見た月の視直径（月の直径を見込む角）を測定したところ、$9.0\times 10^{-3}\text{rad}$ であった。このときの地球から月までの距離を $3.8\times 10^5\text{km}$ とする。

視直径 $\theta$〔rad〕が十分に小さいとき、距離 $d$ にある天体の直径 $D$ は $D=d\theta$ で求められる。月の直径は何 km か。有効数字 2 桁で答えよ。

あるすい星が、太陽を 1 つの焦点とする楕円軌道を公転している。このすい星の公転周期は $64$ 年、近日点距離（近日点での太陽からの距離）は $1$ 天文単位である。

軌道長半径を $a$［天文単位］、公転周期を $T$［年］で表すと、ケプラーの第 3 法則 $\frac{a^3}{T^2}=1$ が成り立つ。また、近日点距離を $q$、遠日点距離を $Q$ とすると、軌道長半径は $a=\frac{q+Q}{2}$ である。このすい星の遠日点距離は何天文単位か。

地球の外側で、太陽を中心とする円軌道を地球と同じ向きに公転している小惑星がある。この小惑星の軌道半径は $4$ 天文単位である。地球の公転周期を $E=1$ 年とする。

軌道半径を $a$［天文単位］、公転周期を $P$［年］で表すとケプラーの第 3 法則 $\frac{a^3}{P^2}=1$ が成り立ち、地球より外側を公転する天体の会合周期 $S$［年］は
$$\frac{1}{S}=\frac{1}{E}-\frac{1}{P}$$
で表される。この小惑星の会合周期は何年か。分数で答えよ。

北緯 $45^{\circ }$ の地点で、春分の日に、水平な地面に長さ $1.2\text{m}$ の棒を鉛直に立てた。春分の日の太陽の南中高度は、観測地点の緯度を $\phi$ とすると $90^{\circ }-\phi$ で表される。

棒の長さを $l$、影の長さを $s$、太陽高度を $h$ とすると、$\tan h=\frac{l}{s}$ が成り立つ。この日の太陽の南中時に地面にできる棒の影の長さは何 m か。小数第 1 位まで求めよ。

地軸が公転面に垂直な方向から $\epsilon =25^{\circ }$ 傾いている惑星がある。この惑星の北半球の緯度 $\phi$ の地点で、北半球が冬至のとき（太陽の赤緯が $-\epsilon$ のとき）の太陽の南中高度は
$$h=90^{\circ }-\phi -\epsilon$$
で表される。南中高度が $0^{\circ }$ 以下になる地点では、その日太陽は一日中昇らない（極夜になる）ものとする。

この惑星の北半球にある観測地点 A〜F の緯度は、次の表のとおりである。

地点 A〜F のうち、北半球の冬至の日に極夜になる地点は何か所あるか。

ある惑星の半径は $3.4\times 10^3\text{km}$、質量は $6.4\times 10^{23}\text{kg}$ である。この惑星を球とみなし、球の体積を $\frac{4}{3}\pi R^3$（$R$ は半径）、円周率を $\pi =3.14$ とする。

この惑星の平均密度は何 ${\text{g/cm}}^3$ か。有効数字 2 桁で答えよ。

地球の外側を公転する惑星 X がある。地球と惑星 X は、太陽を中心とする同一平面上の円軌道を、同じ向きにそれぞれ一定の速さで公転している。惑星 X の会合周期は $780$ 日である。

ある日、惑星 X は衝の位置にあった（太陽から見て地球と惑星 X が同じ方向にある）。その後、太陽から見た地球の方向と惑星 X の方向のなす角はしだいに大きくなった。衝の日から数えて、このなす角が初めて $120^{\circ }$ になるのは何日後か。

北半球のある地点で、冬至の日に太陽の南中高度を測定したところ、$31.1^{\circ }$ であった。冬至の日の太陽の赤緯を $-23.4^{\circ }$ とし、緯度 $\phi$、太陽の赤緯 $\delta$ の地点での太陽の南中高度 $h$ は
$$h=90^{\circ }-\phi +\delta$$
で表されるものとする。この地点の緯度は北緯何度か。度を単位とした数値で答えよ。

太陽のまわりを半径 $7.0$ 天文単位の円軌道で公転する仮想的な惑星 X へ、地球から探査機を送る。地球と惑星 X は、太陽を中心とする同一平面上の円軌道を同じ向きに一定の速さで公転しており、地球の軌道半径は $1.0$ 天文単位、公転周期は $1.0$ 年、惑星 X の公転周期は $18.5$ 年とする。

探査機は、近日点が地球の軌道上（太陽から $1.0$ 天文単位）、遠日点が惑星 X の軌道上（太陽から $7.0$ 天文単位）にある楕円軌道に乗り、近日点で打ち上げられて遠日点まで半周したところで惑星 X に到着する。探査機の運動にはケプラーの第 3 法則 $\frac{a^3}{T^2}=1$（$a$ は軌道長半径〔天文単位〕、$T$ は公転周期〔年〕）が成り立ち、探査機は地球と同じ向きに公転するものとする。また、地球や惑星 X の重力の影響は考えないものとする。

探査機が遠日点で惑星 X に出会うためには、打ち上げの瞬間に、太陽から見て惑星 X が地球より公転の向きに何度先行していればよいか。小数第 1 位を四捨五入して整数で答えよ。

地球とは別の惑星 X を考える。X は太陽のまわりを円軌道で公転しながら自転しており、自転軸の向きは公転中つねに一定である。ただし、X の自転軸の公転面に垂直な方向からの傾き（地軸の傾き）$\epsilon$ はわかっていない。

X の北半球のある地点 A（緯度はわかっていない）で、水平な地面に長さ $1.00\text{m}$ の棒を鉛直に立て、太陽が南中したときの棒の影の長さを測定した。その結果は次の表のとおりである。どちらの日も、影は棒の真北の向きにのびていた。

必要であれば、次の三角比の値を用いよ。

大気による光の屈折は無視し、太陽は大きさのない点とみなす。また、夏至・冬至の日の間は太陽の赤緯は一定とみなす。

X の北半球で、冬至の日に太陽の南中高度が $0^{\circ }$ 以下となる（一日中太陽が地平線より上に出ない）地域は、北緯何度以上の地域か。整数で答えよ。

ある惑星 X は、太陽を中心とする半径 $1.52\text{AU}$ の円軌道を公転している。地球は、太陽を中心とする半径 $1.00\text{AU}$ の円軌道を、X と同じ平面上で公転している。

X が衝の位置にあるとき、地球から見た X の視直径は $18$ 秒角であった。X は球形で、質量は $6.4\times 10^{23}\text{kg}$ である。

次の値を用いる。

• $1\text{AU}=1.5\times 10^8\text{km}$
• $1$ 秒角 $=4.8\times 10^{-6}\text{rad}$
• 円周率 $\pi =3.14$

視直径は十分小さいので、X の直径 $D$ は、地球から X までの距離 $d$ と視直径 $\theta$（ラジアン）を用いて $D=d\theta$ と表せるものとする。

X の平均密度は何 ${\text{g/cm}}^3$ か。有効数字 $2$ 桁で求めよ。

太陽のまわりを半径 $1.0$ 天文単位の円軌道で公転する地球から、探査機を打ち上げた。探査機は、太陽からの距離が最も近い点（近日点）が地球軌道上にあり、太陽からの距離が最も遠い点（遠日点）が惑星 P の軌道上にある楕円軌道に乗り、近日点を出発してから遠日点に到達するまでの半周を飛行して、遠日点で惑星 P に到着した。この飛行にかかった時間は $4.0$ 年であった。

惑星 P は太陽を中心とする円軌道を公転しているものとする。探査機は打ち上げ後、太陽の重力だけを受けて運動するものとし、地球や惑星 P の重力の影響は無視する。地球の公転周期を $1.0$ 年とし、ケプラーの第 3 法則が成り立つものとする。また、必要ならば $\sqrt{7}=2.65$ を用いてよい。

惑星 P の公転周期は何年か。有効数字 2 桁で求めよ。

黄道の極の近くにある恒星 S を 1 年間観測し続けたところ、地球の公転によって、S は遠方の恒星を背景として天球上に小さな円を描くように位置を変えた。この円の直径は角度にして $0.10^{\prime \prime }$ であった。

年周視差が $1^{\prime \prime }$ である恒星までの距離を $1$ パーセク（pc）とし、$1\text{pc}=3.26$ 光年とする。地球の公転軌道は太陽を中心とする半径 $1$ 天文単位の円とみなす。

恒星 S までの距離は何光年か。有効数字 2 桁で求めよ。

ある内惑星 Q は、太陽を中心とする半径 $0.64$ 天文単位の円軌道上を一定の速さで公転している。地球は半径 $1$ 天文単位の円軌道上を、Q と同じ向きに一定の速さで公転している。地球の公転周期を $1$ 年とし、$1$ 年 $=365$ 日とする。

ケプラーの第三法則を用いて、Q が内合になってから次に内合になるまでの日数を求めよ。答えは小数第 $1$ 位を四捨五入して整数で答えよ。

ある周期彗星は、太陽を 1 つの焦点とする楕円軌道上を公転しており、その公転周期は $64$ 年である。この彗星が太陽に最も近づくとき（近日点）の太陽からの距離は $0.6\text{au}$ であった。

地球の公転周期を $1$ 年、地球の軌道長半径を $1\text{au}$ とする。ケプラーの第 3 法則を用いて、この彗星が太陽から最も遠ざかるとき（遠日点）の太陽からの距離は何 au か求めよ。

黄道の北極の方向にある恒星 S を 1 年間観測した。S は、はるか遠方の恒星を背景として、天球上で 1 年周期の小さな円を描くように見えた。その円の直径を角度で表すと $0.050^{\prime \prime }$ であった。

地球は太陽を中心とする半径 $1$ 天文単位の円軌道を公転しているものとする。$1$ パーセクは、年周視差（恒星から地球の公転軌道半径を見込む角）が $1^{\prime \prime }$ となる距離であり、$1$ パーセク $=3.26$ 光年とする。年周視差は十分に小さく、恒星までの距離は年周視差に反比例するとしてよい。

恒星 S までの距離は何光年か。有効数字 2 桁で求めよ。

ある外惑星 P を地球から観測したところ、P が衝になってから次に衝になるまでの期間（会合周期）は $417$ 日であった。地球と P はどちらも太陽を中心とする円軌道上を同じ向きに一定の速さで公転しているものとし、地球の公転周期を $365$ 日、地球の公転軌道の半径を $1$ 天文単位とする。

ケプラーの第三法則を用いて、P の公転軌道の半径は何天文単位か。小数第 1 位を四捨五入して整数で答えよ。

恒星 A と恒星 B は、スペクトル型と光度階級が同じで、真の明るさ（絶対等級）が等しいことがわかっている。2 つの恒星の観測結果は次の表のとおりである。

恒星 B の年周視差は何秒角か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、恒星までの距離 $d$〔パーセク〕と年周視差 $p$〔秒角〕の間には $d=\frac{1}{p}$ の関係があり、見かけの等級が $5$ 等小さいと明るさは $100$ 倍になるものとする。また、恒星の見かけの明るさは距離の 2 乗に反比例し、星間物質による減光は無視できるものとする。必要なら ${\log }_{10}2=0.30$ を用いよ。

地球から火星へ探査機を送る。地球と火星は、太陽を中心とする同一平面上の円軌道を同じ向きに一定の速さで公転しているものとする。地球の軌道半径を $1.00$ 天文単位、公転周期を $1.00$ 年とし、火星の軌道半径を $1.52$ 天文単位、公転周期を $1.88$ 年とする。

探査機は地球の位置から、地球の公転と同じ向きに打ち上げられる。打ち上げ後は太陽の引力だけを受けて、太陽を 1 つの焦点とする楕円軌道を運動する。この楕円軌道の近日点は打ち上げ時の地球の位置、遠日点は火星の軌道上にあり、探査機は近日点から遠日点まで楕円軌道のちょうど半周を進んで、遠日点で火星に到着する。

このように探査機を火星に到着させるには、打ち上げの瞬間に、太陽から見て火星が地球よりも公転の向きに何度先行していなければならないか。小数第 1 位を四捨五入して整数で求めよ。ただし、太陽のまわりを公転する天体では、軌道長半径を天文単位、公転周期を年で表すと、ケプラーの第 3 法則は $\frac{a^3}{T^2}=1$ と書けるものとする。必要なら $1.26^3=2.00$、$\sqrt{2}=1.41$ を用いよ。

ある実視連星は、恒星 A と恒星 B からなる。どちらの恒星も、共通重心のまわりを同じ周期の円軌道で公転している。軌道面は視線方向に垂直である。

この連星を長期間観測し、固有運動の影響を取り除いて、次の結果を得た。

次の事実を用いてよい。

• 年周視差が $p{[}^{\prime \prime }]$ の恒星までの距離は $\frac{1}{p}$ パーセクである。
• 距離 $d$ パーセクの位置で視線に垂直な長さ $1$ 天文単位を見込む角は $\frac{1}{d}{[}^{\prime \prime }]$ である。
• ケプラーの第三法則により、相対軌道の半径を $a$ [天文単位]、公転周期を $P$ [年]、2 つの恒星の質量を $M_A$, $M_B$ [太陽質量] とすると、$\frac{a^3}{P^2}=M_A+M_B$ が成り立つ。

恒星 A の質量は太陽質量の何倍か。有効数字 2 桁で求めよ。

地球とは別の、ある惑星 X を考える。惑星 X は太陽のまわりを公転しながら自転しており、その自転軸は公転面に垂直な方向から一定の角度 $\epsilon$ だけ傾いている（$0^{\circ }<\epsilon <90^{\circ }$）。惑星 X の北半球の夏至の日には太陽の赤緯が $+\epsilon$、冬至の日には $-\epsilon$ になる。また、1 日のあいだの太陽の赤緯の変化は無視できるものとする。

惑星 X の北半球にある地点 A（緯度は不明）で太陽の南中（子午線通過）を観測したところ、次の結果を得た。

この観測結果をもとに、惑星 X の北緯 $40^{\circ }$ の地点における夏至の日の太陽の南中高度は何度か。整数で求めよ。ただし、大気による光の屈折は無視し、太陽は点とみなす。

ある内惑星 V を地球から観測したところ、最大離角は $30^{\circ }$ であった。地球と V はどちらも太陽を中心とする同一平面上の円軌道を、同じ向きに一定の速さで公転しているものとする。地球の軌道半径を $1$ 天文単位、公転周期を $365$ 日とする。ケプラーの第三法則が成り立つものとし、必要なら $\sqrt{2}=1.41$ を用いよ。

V が東方最大離角になってから、次に内合になるまでの日数を求めよ。答えは小数第 $1$ 位を四捨五入して整数で答えよ。