太陽系と天体の運動の問題

北半球のある地点で、冬至の日に太陽の南中高度を測定したところ、$31.1^{\circ }$ であった。冬至の日の太陽の赤緯を $-23.4^{\circ }$ とし、緯度 $\phi$、太陽の赤緯 $\delta$ の地点での太陽の南中高度 $h$ は
$$h=90^{\circ }-\phi +\delta$$
で表されるものとする。この地点の緯度は北緯何度か。度を単位とした数値で答えよ。

北緯 $45^{\circ }$ の地点で、春分の日に、水平な地面に長さ $1.2\text{m}$ の棒を鉛直に立てた。春分の日の太陽の南中高度は、観測地点の緯度を $\phi$ とすると $90^{\circ }-\phi$ で表される。

棒の長さを $l$、影の長さを $s$、太陽高度を $h$ とすると、$\tan h=\frac{l}{s}$ が成り立つ。この日の太陽の南中時に地面にできる棒の影の長さは何 m か。小数第 1 位まで求めよ。

地球とは別の惑星 X を考える。X は太陽のまわりを円軌道で公転しながら自転しており、自転軸の向きは公転中つねに一定である。ただし、X の自転軸の公転面に垂直な方向からの傾き（地軸の傾き）$\epsilon$ はわかっていない。

X の北半球のある地点 A（緯度はわかっていない）で、水平な地面に長さ $1.00\text{m}$ の棒を鉛直に立て、太陽が南中したときの棒の影の長さを測定した。その結果は次の表のとおりである。どちらの日も、影は棒の真北の向きにのびていた。

必要であれば、次の三角比の値を用いよ。

大気による光の屈折は無視し、太陽は大きさのない点とみなす。また、夏至・冬至の日の間は太陽の赤緯は一定とみなす。

X の北半球で、冬至の日に太陽の南中高度が $0^{\circ }$ 以下となる（一日中太陽が地平線より上に出ない）地域は、北緯何度以上の地域か。整数で答えよ。

地球の外側を公転する惑星 X がある。地球と惑星 X は、太陽を中心とする同一平面上の円軌道を、同じ向きにそれぞれ一定の速さで公転している。惑星 X の会合周期は $780$ 日である。

ある日、惑星 X は衝の位置にあった（太陽から見て地球と惑星 X が同じ方向にある）。その後、太陽から見た地球の方向と惑星 X の方向のなす角はしだいに大きくなった。衝の日から数えて、このなす角が初めて $120^{\circ }$ になるのは何日後か。

地球の外側で、太陽を中心とする円軌道を地球と同じ向きに公転している小惑星がある。この小惑星の軌道半径は $4$ 天文単位である。地球の公転周期を $E=1$ 年とする。

軌道半径を $a$［天文単位］、公転周期を $P$［年］で表すとケプラーの第 3 法則 $\frac{a^3}{P^2}=1$ が成り立ち、地球より外側を公転する天体の会合周期 $S$［年］は
$$\frac{1}{S}=\frac{1}{E}-\frac{1}{P}$$
で表される。この小惑星の会合周期は何年か。分数で答えよ。