太陽系と天体の運動の問題

地軸が公転面に垂直な方向から $\epsilon =25^{\circ }$ 傾いている惑星がある。この惑星の北半球の緯度 $\phi$ の地点で、北半球が冬至のとき（太陽の赤緯が $-\epsilon$ のとき）の太陽の南中高度は
$$h=90^{\circ }-\phi -\epsilon$$
で表される。南中高度が $0^{\circ }$ 以下になる地点では、その日太陽は一日中昇らない（極夜になる）ものとする。

この惑星の北半球にある観測地点 A〜F の緯度は、次の表のとおりである。

地点 A〜F のうち、北半球の冬至の日に極夜になる地点は何か所あるか。

北緯 $45^{\circ }$ の地点で、春分の日に、水平な地面に長さ $1.2\text{m}$ の棒を鉛直に立てた。春分の日の太陽の南中高度は、観測地点の緯度を $\phi$ とすると $90^{\circ }-\phi$ で表される。

棒の長さを $l$、影の長さを $s$、太陽高度を $h$ とすると、$\tan h=\frac{l}{s}$ が成り立つ。この日の太陽の南中時に地面にできる棒の影の長さは何 m か。小数第 1 位まで求めよ。

地球から見た月の視直径（月の直径を見込む角）を測定したところ、$9.0\times 10^{-3}\text{rad}$ であった。このときの地球から月までの距離を $3.8\times 10^5\text{km}$ とする。

視直径 $\theta$〔rad〕が十分に小さいとき、距離 $d$ にある天体の直径 $D$ は $D=d\theta$ で求められる。月の直径は何 km か。有効数字 2 桁で答えよ。

ある恒星の年周視差を測定したところ、$0.25$ 秒角（$0.25^{\prime \prime }$）であった。

年周視差 $p$〔秒角〕の恒星までの距離 $d$〔pc〕は
$$d=\frac{1}{p}$$
で求められる。この恒星までの距離は何 pc（パーセク）か。

ある惑星の半径は $3.4\times 10^3\text{km}$、質量は $6.4\times 10^{23}\text{kg}$ である。この惑星を球とみなし、球の体積を $\frac{4}{3}\pi R^3$（$R$ は半径）、円周率を $\pi =3.14$ とする。

この惑星の平均密度は何 ${\text{g/cm}}^3$ か。有効数字 2 桁で答えよ。