太陽系と天体の運動の問題

地球から見た月の視直径（月の直径を見込む角）を測定したところ、$9.0\times 10^{-3}\text{rad}$ であった。このときの地球から月までの距離を $3.8\times 10^5\text{km}$ とする。

視直径 $\theta$〔rad〕が十分に小さいとき、距離 $d$ にある天体の直径 $D$ は $D=d\theta$ で求められる。月の直径は何 km か。有効数字 2 桁で答えよ。

ある恒星のまわりを、地球とよく似た惑星 P と、P より内側を回る惑星 Q が、同じ平面上で恒星を中心とする円軌道を描いて公転している。惑星 P と恒星の距離を $1\text{AU}$ とする。

惑星 P から観測すると、惑星 Q の最大離角（P から見た恒星と Q の方向がなす角の最大値）は $30^{\circ }$ であった。惑星 Q の軌道半径は何 $\text{AU}$ か。分数で答えよ。

ある惑星 X は、太陽を中心とする半径 $1.52\text{AU}$ の円軌道を公転している。地球は、太陽を中心とする半径 $1.00\text{AU}$ の円軌道を、X と同じ平面上で公転している。

X が衝の位置にあるとき、地球から見た X の視直径は $18$ 秒角であった。X は球形で、質量は $6.4\times 10^{23}\text{kg}$ である。

次の値を用いる。

• $1\text{AU}=1.5\times 10^8\text{km}$
• $1$ 秒角 $=4.8\times 10^{-6}\text{rad}$
• 円周率 $\pi =3.14$

視直径は十分小さいので、X の直径 $D$ は、地球から X までの距離 $d$ と視直径 $\theta$（ラジアン）を用いて $D=d\theta$ と表せるものとする。

X の平均密度は何 ${\text{g/cm}}^3$ か。有効数字 $2$ 桁で求めよ。

地球の外側で、太陽を中心とする円軌道を地球と同じ向きに公転している小惑星がある。この小惑星の軌道半径は $4$ 天文単位である。地球の公転周期を $E=1$ 年とする。

軌道半径を $a$［天文単位］、公転周期を $P$［年］で表すとケプラーの第 3 法則 $\frac{a^3}{P^2}=1$ が成り立ち、地球より外側を公転する天体の会合周期 $S$［年］は
$$\frac{1}{S}=\frac{1}{E}-\frac{1}{P}$$
で表される。この小惑星の会合周期は何年か。分数で答えよ。

北半球のある地点で、冬至の日に太陽の南中高度を測定したところ、$31.1^{\circ }$ であった。冬至の日の太陽の赤緯を $-23.4^{\circ }$ とし、緯度 $\phi$、太陽の赤緯 $\delta$ の地点での太陽の南中高度 $h$ は
$$h=90^{\circ }-\phi +\delta$$
で表されるものとする。この地点の緯度は北緯何度か。度を単位とした数値で答えよ。