太陽系と天体の運動の問題

地球の外側を公転する惑星 X がある。地球と惑星 X は、太陽を中心とする同一平面上の円軌道を、同じ向きにそれぞれ一定の速さで公転している。惑星 X の会合周期は $780$ 日である。

ある日、惑星 X は衝の位置にあった（太陽から見て地球と惑星 X が同じ方向にある）。その後、太陽から見た地球の方向と惑星 X の方向のなす角はしだいに大きくなった。衝の日から数えて、このなす角が初めて $120^{\circ }$ になるのは何日後か。

地球の外側で、太陽を中心とする円軌道を地球と同じ向きに公転している小惑星がある。この小惑星の軌道半径は $4$ 天文単位である。地球の公転周期を $E=1$ 年とする。

軌道半径を $a$［天文単位］、公転周期を $P$［年］で表すとケプラーの第 3 法則 $\frac{a^3}{P^2}=1$ が成り立ち、地球より外側を公転する天体の会合周期 $S$［年］は
$$\frac{1}{S}=\frac{1}{E}-\frac{1}{P}$$
で表される。この小惑星の会合周期は何年か。分数で答えよ。

ある惑星 X は、太陽を中心とする半径 $1.52\text{AU}$ の円軌道を公転している。地球は、太陽を中心とする半径 $1.00\text{AU}$ の円軌道を、X と同じ平面上で公転している。

X が衝の位置にあるとき、地球から見た X の視直径は $18$ 秒角であった。X は球形で、質量は $6.4\times 10^{23}\text{kg}$ である。

次の値を用いる。

• $1\text{AU}=1.5\times 10^8\text{km}$
• $1$ 秒角 $=4.8\times 10^{-6}\text{rad}$
• 円周率 $\pi =3.14$

視直径は十分小さいので、X の直径 $D$ は、地球から X までの距離 $d$ と視直径 $\theta$（ラジアン）を用いて $D=d\theta$ と表せるものとする。

X の平均密度は何 ${\text{g/cm}}^3$ か。有効数字 $2$ 桁で求めよ。

あるすい星が、太陽を 1 つの焦点とする楕円軌道を公転している。このすい星の公転周期は $64$ 年、近日点距離（近日点での太陽からの距離）は $1$ 天文単位である。

軌道長半径を $a$［天文単位］、公転周期を $T$［年］で表すと、ケプラーの第 3 法則 $\frac{a^3}{T^2}=1$ が成り立つ。また、近日点距離を $q$、遠日点距離を $Q$ とすると、軌道長半径は $a=\frac{q+Q}{2}$ である。このすい星の遠日点距離は何天文単位か。

ある惑星の半径は $3.4\times 10^3\text{km}$、質量は $6.4\times 10^{23}\text{kg}$ である。この惑星を球とみなし、球の体積を $\frac{4}{3}\pi R^3$（$R$ は半径）、円周率を $\pi =3.14$ とする。

この惑星の平均密度は何 ${\text{g/cm}}^3$ か。有効数字 2 桁で答えよ。