太陽系と天体の運動の問題

ある恒星の年周視差を測定したところ、$0.25$ 秒角（$0.25^{\prime \prime }$）であった。

年周視差 $p$〔秒角〕の恒星までの距離 $d$〔pc〕は
$$d=\frac{1}{p}$$
で求められる。この恒星までの距離は何 pc（パーセク）か。

ある惑星の半径は $3.4\times 10^3\text{km}$、質量は $6.4\times 10^{23}\text{kg}$ である。この惑星を球とみなし、球の体積を $\frac{4}{3}\pi R^3$（$R$ は半径）、円周率を $\pi =3.14$ とする。

この惑星の平均密度は何 ${\text{g/cm}}^3$ か。有効数字 2 桁で答えよ。

ある惑星 X は、太陽を中心とする半径 $1.52\text{AU}$ の円軌道を公転している。地球は、太陽を中心とする半径 $1.00\text{AU}$ の円軌道を、X と同じ平面上で公転している。

X が衝の位置にあるとき、地球から見た X の視直径は $18$ 秒角であった。X は球形で、質量は $6.4\times 10^{23}\text{kg}$ である。

次の値を用いる。

• $1\text{AU}=1.5\times 10^8\text{km}$
• $1$ 秒角 $=4.8\times 10^{-6}\text{rad}$
• 円周率 $\pi =3.14$

視直径は十分小さいので、X の直径 $D$ は、地球から X までの距離 $d$ と視直径 $\theta$（ラジアン）を用いて $D=d\theta$ と表せるものとする。

X の平均密度は何 ${\text{g/cm}}^3$ か。有効数字 $2$ 桁で求めよ。

北半球のある地点で、冬至の日に太陽の南中高度を測定したところ、$31.1^{\circ }$ であった。冬至の日の太陽の赤緯を $-23.4^{\circ }$ とし、緯度 $\phi$、太陽の赤緯 $\delta$ の地点での太陽の南中高度 $h$ は
$$h=90^{\circ }-\phi +\delta$$
で表されるものとする。この地点の緯度は北緯何度か。度を単位とした数値で答えよ。

黄道の極の近くにある恒星 S を 1 年間観測し続けたところ、地球の公転によって、S は遠方の恒星を背景として天球上に小さな円を描くように位置を変えた。この円の直径は角度にして $0.10^{\prime \prime }$ であった。

年周視差が $1^{\prime \prime }$ である恒星までの距離を $1$ パーセク（pc）とし、$1\text{pc}=3.26$ 光年とする。地球の公転軌道は太陽を中心とする半径 $1$ 天文単位の円とみなす。

恒星 S までの距離は何光年か。有効数字 2 桁で求めよ。