視直径と天体の実際の大きさ

視直径 $θ$ （ラジアン、秒角は $1^{''} = 4.8 \times 1 0^{- 6} rad$ などで換算）と距離 $d$ から $D = d θ$ で天体の直径を求められる。衝・内合などの配置での地球からの距離（例: 衝のとき $a - 1$ AU）を求めて使える

前提

弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）

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算数中学高校大学大学院

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弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）

説明

天体が空の上でどれだけの角度の大きさに見えるか（視直径）と、その天体までの距離から、天体の実際の直径を求められるようになります。視直径 $θ$ をラジアンで表せば、直径は $D = d θ$ という簡単な式で求まります。惑星の場合は、衝や内合などの配置のときの地球からの距離を軌道半径から求めて、この式に使います。

なぜそうしてよいのか

半径 $r$ の円で、中心角 $θ$ （ラジアン）に対する弧の長さは $r θ$ です。これは弧度法の決め方そのもの（弧の長さが半径の何倍かを角の大きさとする）から出てきます。観測者を円の中心に置き、距離 $d$ のところにある天体を見ると、天体の直径 $D$ はこの円の上の小さな弧とみなせます。天体の視直径（天体の両端を見込む角）を $θ$ とすると、 $D$ はおよそ弧の長さ $d θ$ に等しくなります。

本当は天体の直径はまっすぐな線分で、円の弧とは少し違います。しかし天体の視直径はとても小さい（月や太陽でも約 $0. 5^{\circ}$ 、惑星では数十秒角以下）ので、弧と線分の長さの差は無視できるほど小さく、
$D = d θ (θ はラジアン)$
としてよいのです。ここで $θ$ は必ずラジアンで表します。観測では角度を秒角（ $1^{''}$ は $1^{\circ}$ の $\frac{1}{3600}$ ）で表すことが多いので、 $1^{\circ} = \frac{π}{180} rad$ から $1^{''} = \frac{π}{180 \times 3600} rad ≒ 4.8 \times 1 0^{- 6} rad$ のような換算値を使って直します。 $D$ は $d$ と同じ単位で求まります。

惑星までの距離は、地球との位置関係で大きく変わります。地球と惑星の軌道を太陽を中心とする同じ平面上の円とし、地球の軌道半径を $1 AU$ 、惑星の軌道半径を $a$ 〔AU〕とします。太陽・地球・惑星が一直線に並ぶとき、距離は半径の差か和になります。外惑星（ $a > 1$ ）が衝（地球から見て太陽と反対側）のときは地球と同じ側にあるので $a - 1$ 、合（太陽の向こう側）のときは $a + 1$ です。内惑星（ $a < 1$ ）が内合（地球と太陽の間）のときは $1 - a$ 、外合（太陽の向こう側）のときは $1 + a$ です。

手順

視直径をラジアンに直す: 秒角で与えられたら、与えられた換算値（例: $1^{''} = 4.8 \times 1 0^{- 6} rad$ ）を掛ける。
天体までの距離 $d$ を求める: 惑星なら配置に応じて、衝 $a - 1$ 、合 $a + 1$ 、内合 $1 - a$ 、外合 $1 + a$ 〔AU〕を使う。
距離を答えの単位に直す: 例えば km で答えるなら、与えられた $1 AU$ の値を掛ける。
$D = d θ$ を計算する（ $θ$ はラジアン、 $D$ は $d$ と同じ単位）。
問題文の丸め方（有効数字など）に従って答える。

例題

火星の軌道と地球の軌道は、どちらも太陽を中心とする同じ平面上の円で、火星の軌道半径は $1.5 AU$ であるとする。火星が衝の位置にあるとき、地球から見た火星の視直径は $1 8^{''}$ （秒角）であった。火星の直径は何 km か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、 $1 AU = 1.5 \times 1 0^{8} km$ 、 $1^{''} = 4.8 \times 1 0^{- 6} rad$ とする。

例題の解答

手順 1: 視直径をラジアンに直すと、 $θ = 18 \times 4.8 \times 1 0^{- 6} = 8.64 \times 1 0^{- 5} rad$ 。

手順 2: 衝のとき火星は地球と同じ側にあるので、地球からの距離は $d = 1.5 - 1 = 0.5 AU$ 。

手順 3: km に直すと、 $d = 0.5 \times 1.5 \times 1 0^{8} = 7.5 \times 1 0^{7} km$ 。

手順 4: $D = d θ = 7.5 \times 1 0^{7} \times 8.64 \times 1 0^{- 5} = 6480 km$ 。

手順 5: 有効数字 2 桁で $6.5 \times 1 0^{3} km$ 。

答え: $6.5 \times 1 0^{3}$

よくある誤り

視直径を秒角や度のまま $D = d θ$ に代入してしまう誤り。正しくは $θ$ をラジアンに直してから使う（ $1 8^{''}$ なら $18 \times 4.8 \times 1 0^{- 6} = 8.64 \times 1 0^{- 5} rad$ 。 $D = 7.5 \times 1 0^{7} \times 18$ とするのは誤り）。
衝のときの距離を、太陽からの距離 $a$ や和 $a + 1$ としてしまう誤り。正しくは、衝では外惑星が地球と同じ側にあるので、地球からの距離は $a - 1$ 〔AU〕である（ $a = 1.5$ なら $0.5 AU$ ）。 $a + 1$ になるのは合のとき。
内惑星の内合と外合の距離を取り違える誤り。正しくは、内合（地球と太陽の間）では $1 - a$ 、外合（太陽の向こう側）では $1 + a$ 〔AU〕である。
距離の単位を直さずに計算してしまう誤り。 $D = d θ$ の $D$ は $d$ と同じ単位になるので、 $d$ を AU のまま使うと $D$ も AU になる。km で答えるときは $1 AU$ の値を掛けて $d$ を km に直す。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
地球から見た月の視直径（月の直径を見込む角）を測定したところ、 $9.0 \times 1 0^{- 3} rad$ であった。このときの地球から月までの距離を $3.8 \times 1 0^{5} km$ とする。
視直径 $θ$ 〔rad〕が十分に小さいとき、距離 $d$ にある天体の直径 $D$ は $D = d θ$ で求められる。月の直径は何 km か。有効数字 2 桁で答えよ。

この技能を使う問題

難易度 2（教科書の章末問題レベル）
ある惑星 X は、太陽を中心とする半径 $1.52 AU$ の円軌道を公転している。地球は、太陽を中心とする半径 $1.00 AU$ の円軌道を、X と同じ平面上で公転している。
X が衝の位置にあるとき、地球から見た X の視直径は $18$ 秒角であった。X は球形で、質量は $6.4 \times 1 0^{23} kg$ である。
次の値を用いる。
- $1 AU = 1.5 \times 1 0^{8} km$
- $1$ 秒角 $= 4.8 \times 1 0^{- 6} rad$
- 円周率 $π = 3.14$
視直径は十分小さいので、X の直径 $D$ は、地球から X までの距離 $d$ と視直径 $θ$ （ラジアン）を用いて $D = d θ$ と表せるものとする。
X の平均密度は何 $g/cm^{3}$ か。有効数字 $2$ 桁で求めよ。

難易度 3（共通テストレベル）

ある実視連星は、恒星 A と恒星 B からなる。どちらの恒星も、共通重心のまわりを同じ周期の円軌道で公転している。軌道面は視線方向に垂直である。

この連星を長期間観測し、固有運動の影響を取り除いて、次の結果を得た。

観測内容	結果
地球の公転によって、連星の共通重心が天球上に描く楕円の長軸の長さ（端から端まで）	$0.5 0^{''}$
恒星 B から見た恒星 A の相対軌道（円）の角半径	$2. 0^{''}$
共通重心から見た恒星 A の軌道（円）の角半径	$0.5 0^{''}$
公転周期	$16$ 年

次の事実を用いてよい。

年周視差が $p [^{''}]$ の恒星までの距離は $\frac{1}{p}$ パーセクである。
距離 $d$ パーセクの位置で視線に垂直な長さ $1$ 天文単位を見込む角は $\frac{1}{d} [^{''}]$ である。
ケプラーの第三法則により、相対軌道の半径を $a$ [天文単位]、公転周期を $P$ [年]、2 つの恒星の質量を $M_{A}$ , $M_{B}$ [太陽質量] とすると、 $\frac{a ^{3}}{P ^{2}} = M_{A} + M_{B}$ が成り立つ。

恒星 A の質量は太陽質量の何倍か。有効数字 2 桁で求めよ。

この技能の次に学べること

惑星の大きさと平均密度（高校地学太陽系と天体の運動）