太陽系と天体の運動の問題

北半球のある地点で、冬至の日に太陽の南中高度を測定したところ、$31.1^{\circ }$ であった。冬至の日の太陽の赤緯を $-23.4^{\circ }$ とし、緯度 $\phi$、太陽の赤緯 $\delta$ の地点での太陽の南中高度 $h$ は
$$h=90^{\circ }-\phi +\delta$$
で表されるものとする。この地点の緯度は北緯何度か。度を単位とした数値で答えよ。

地軸が公転面に垂直な方向から $\epsilon =25^{\circ }$ 傾いている惑星がある。この惑星の北半球の緯度 $\phi$ の地点で、北半球が冬至のとき（太陽の赤緯が $-\epsilon$ のとき）の太陽の南中高度は
$$h=90^{\circ }-\phi -\epsilon$$
で表される。南中高度が $0^{\circ }$ 以下になる地点では、その日太陽は一日中昇らない（極夜になる）ものとする。

この惑星の北半球にある観測地点 A〜F の緯度は、次の表のとおりである。

地点 A〜F のうち、北半球の冬至の日に極夜になる地点は何か所あるか。

あるすい星が、太陽を 1 つの焦点とする楕円軌道を公転している。このすい星の公転周期は $64$ 年、近日点距離（近日点での太陽からの距離）は $1$ 天文単位である。

軌道長半径を $a$［天文単位］、公転周期を $T$［年］で表すと、ケプラーの第 3 法則 $\frac{a^3}{T^2}=1$ が成り立つ。また、近日点距離を $q$、遠日点距離を $Q$ とすると、軌道長半径は $a=\frac{q+Q}{2}$ である。このすい星の遠日点距離は何天文単位か。

地球から見た月の視直径（月の直径を見込む角）を測定したところ、$9.0\times 10^{-3}\text{rad}$ であった。このときの地球から月までの距離を $3.8\times 10^5\text{km}$ とする。

視直径 $\theta$〔rad〕が十分に小さいとき、距離 $d$ にある天体の直径 $D$ は $D=d\theta$ で求められる。月の直径は何 km か。有効数字 2 桁で答えよ。

太陽のまわりを楕円軌道で公転している小天体がある。この小天体の公転周期は $27$ 年である。

軌道長半径を $a$［天文単位］、公転周期を $T$［年］で表すと、太陽のまわりを公転する天体についてケプラーの第 3 法則
$$\frac{a^3}{T^2}=1$$
が成り立つものとする。この小天体の軌道長半径は何天文単位か。