北緯 の地点で、春分の日に、水平な地面に長さ の棒を鉛直に立てた。春分の日の太陽の南中高度は、観測地点の緯度を とすると で表される。
棒の長さを 、影の長さを 、太陽高度を とすると、 が成り立つ。この日の太陽の南中時に地面にできる棒の影の長さは何 m か。小数第 1 位まで求めよ。
棒の影の長さと太陽高度
鉛直に立てた長さ の棒の影の長さ から で太陽高度を求め、夏至・冬至の南中時の影の長さから観測地点の緯度や地軸の傾きを求められる
前提
- 太陽の赤緯と南中高度 （高校地学 太陽系と天体の運動）
- 三角比の定義と値 （数学I 図形と計量）
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- 三角比の定義と値 （数学I 図形と計量）
説明
地面に鉛直に立てた棒の影の長さを測って、そのときの太陽高度を求められるようになります。棒の長さ と影の長さ から で太陽高度 が決まります。さらに、南中時の太陽高度と南中高度の式 を組み合わせると、春分・秋分や夏至・冬至の影の長さから、観測地点の緯度や地軸の傾きを求めることができます。
なぜそうしてよいのか
平らな地面に長さ の棒を鉛直に立てると、棒の先端・棒の根元・影の先端の 3 点は、棒の根元を直角とする直角三角形をつくります。太陽の光は平行にやってくるので、影の先端から棒の先端を見上げる角が、地平線から測った太陽の高さ、つまり太陽高度 です。この直角三角形で、角 の向かいの辺が棒（長さ ）、角 に隣り合う辺が影（長さ ）なので、三角比の定義から
となります。太陽が高いほど影は短くなり、 が大きくなるので も大きくなります。とくに影の長さが棒の長さと等しいとき で 、影が棒の 倍のとき で です。
北半球の緯度 の地点で、太陽が天頂より南側を通って南中するとき、その高度は太陽の赤緯 を使って でした（春分・秋分 、夏至 、冬至 ）。南中時の影は太陽と反対の真北にのび、その長さから がわかるので、この式を や について解けば、緯度や地軸の傾きが求まります。たとえば春分・秋分なら です。また、夏至・冬至とも太陽が天頂より南側を通る（ の）地点では、夏至の南中高度を 、冬至の南中高度を とすると となり、この差から地軸の傾きが求まります。
なお、低緯度で太陽が天頂より北側を通るとき（）は、南中時の影は真南にのびます。このとき影から求めた高度は北の地平線から測った高度で、 となります。たとえば の地点の夏至では南中高度が になるので、夏至と冬至の高度の差は になりません。影の向きを確かめて、季節ごとに使う式を選びます。
手順
棒・影・太陽光線で直角三角形をつくり、棒の長さ と影の長さ を確かめる（ と は同じ単位にそろえる）。
を計算し、その値になる角 （）を求める。
観測日の太陽の赤緯 を決める: 春分・秋分 、夏至 、冬至 。
南中時の影が真北にのびていれば（太陽が天頂より南側）、真南にのびていれば（太陽が天頂より北側） を使う。
式を緯度 や地軸の傾き について解く。夏至・冬至とも影が真北にのびる（ の）ときは、夏至と冬至の南中高度 、 の差 も使える。夏至の影が真南にのびるときは、手順 4 の式で季節ごとに場合分けして解く。
例題
北半球のある地点で、春分の日の正午ごろ、水平な地面に長さ の棒を鉛直に立てて影を観測した。影が真北を向いたとき（太陽の南中時）、影の長さは であった。この地点の緯度は北緯何度か。ただし、春分の日の太陽の赤緯は とする。
例題の解答
手順 1: 棒の長さ 、影の長さ 。
手順 2: なので、南中高度は 。
手順 3: 春分の日なので 。
手順 4: 南中時の影は真北を向いているので、太陽は天頂より南側で南中している。 を使う。
手順 5: より 。
よって、この地点は北緯 45 度。
答え:
よくある誤り
のように棒と影の比を逆にしてしまう誤り。正しくは、角 の向かいの辺が棒、隣の辺が影なので である（影が棒の 倍なら で 。 ではない）。
や としてしまう誤り。影の長さ は斜辺ではなく、棒の根元から影の先端までの水平な辺なので、 と の比は で表す。
太陽高度 をそのまま緯度としてしまう誤り。正しくは、南中高度と緯度の関係は であり、春分・秋分なら である（ なら ）。
夏至と冬至の南中高度の差をそのまま地軸の傾きとしてしまう誤り。正しくは、夏至・冬至とも太陽が天頂より南側で南中する（ の）とき、差は なので、地軸の傾きはその半分である（差が なら ）。夏至に天頂より北側を通る低緯度の地点では、この関係は使えない。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。