太陽系と天体の運動の問題

地球とは別の、ある惑星 X を考える。惑星 X は太陽のまわりを公転しながら自転しており、その自転軸は公転面に垂直な方向から一定の角度 $\epsilon$ だけ傾いている（$0^{\circ }<\epsilon <90^{\circ }$）。惑星 X の北半球の夏至の日には太陽の赤緯が $+\epsilon$、冬至の日には $-\epsilon$ になる。また、1 日のあいだの太陽の赤緯の変化は無視できるものとする。

惑星 X の北半球にある地点 A（緯度は不明）で太陽の南中（子午線通過）を観測したところ、次の結果を得た。

この観測結果をもとに、惑星 X の北緯 $40^{\circ }$ の地点における夏至の日の太陽の南中高度は何度か。整数で求めよ。ただし、大気による光の屈折は無視し、太陽は点とみなす。

地軸が公転面に垂直な方向から $\epsilon =25^{\circ }$ 傾いている惑星がある。この惑星の北半球の緯度 $\phi$ の地点で、北半球が冬至のとき（太陽の赤緯が $-\epsilon$ のとき）の太陽の南中高度は
$$h=90^{\circ }-\phi -\epsilon$$
で表される。南中高度が $0^{\circ }$ 以下になる地点では、その日太陽は一日中昇らない（極夜になる）ものとする。

この惑星の北半球にある観測地点 A〜F の緯度は、次の表のとおりである。

地点 A〜F のうち、北半球の冬至の日に極夜になる地点は何か所あるか。

太陽のまわりを半径 $1.0$ 天文単位の円軌道で公転する地球から、探査機を打ち上げた。探査機は、太陽からの距離が最も近い点（近日点）が地球軌道上にあり、太陽からの距離が最も遠い点（遠日点）が惑星 P の軌道上にある楕円軌道に乗り、近日点を出発してから遠日点に到達するまでの半周を飛行して、遠日点で惑星 P に到着した。この飛行にかかった時間は $4.0$ 年であった。

惑星 P は太陽を中心とする円軌道を公転しているものとする。探査機は打ち上げ後、太陽の重力だけを受けて運動するものとし、地球や惑星 P の重力の影響は無視する。地球の公転周期を $1.0$ 年とし、ケプラーの第 3 法則が成り立つものとする。また、必要ならば $\sqrt{7}=2.65$ を用いてよい。

惑星 P の公転周期は何年か。有効数字 2 桁で求めよ。

ある内惑星 Q は、太陽を中心とする半径 $0.64$ 天文単位の円軌道上を一定の速さで公転している。地球は半径 $1$ 天文単位の円軌道上を、Q と同じ向きに一定の速さで公転している。地球の公転周期を $1$ 年とし、$1$ 年 $=365$ 日とする。

ケプラーの第三法則を用いて、Q が内合になってから次に内合になるまでの日数を求めよ。答えは小数第 $1$ 位を四捨五入して整数で答えよ。

ある惑星 X は、太陽を中心とする半径 $1.52\text{AU}$ の円軌道を公転している。地球は、太陽を中心とする半径 $1.00\text{AU}$ の円軌道を、X と同じ平面上で公転している。

X が衝の位置にあるとき、地球から見た X の視直径は $18$ 秒角であった。X は球形で、質量は $6.4\times 10^{23}\text{kg}$ である。

次の値を用いる。

• $1\text{AU}=1.5\times 10^8\text{km}$
• $1$ 秒角 $=4.8\times 10^{-6}\text{rad}$
• 円周率 $\pi =3.14$

視直径は十分小さいので、X の直径 $D$ は、地球から X までの距離 $d$ と視直径 $\theta$（ラジアン）を用いて $D=d\theta$ と表せるものとする。

X の平均密度は何 ${\text{g/cm}}^3$ か。有効数字 $2$ 桁で求めよ。