太陽系と天体の運動の問題

地球とは別の惑星 X を考える。X は太陽のまわりを円軌道で公転しながら自転しており、自転軸の向きは公転中つねに一定である。ただし、X の自転軸の公転面に垂直な方向からの傾き（地軸の傾き）$\epsilon$ はわかっていない。

X の北半球のある地点 A（緯度はわかっていない）で、水平な地面に長さ $1.00\text{m}$ の棒を鉛直に立て、太陽が南中したときの棒の影の長さを測定した。その結果は次の表のとおりである。どちらの日も、影は棒の真北の向きにのびていた。

必要であれば、次の三角比の値を用いよ。

大気による光の屈折は無視し、太陽は大きさのない点とみなす。また、夏至・冬至の日の間は太陽の赤緯は一定とみなす。

X の北半球で、冬至の日に太陽の南中高度が $0^{\circ }$ 以下となる（一日中太陽が地平線より上に出ない）地域は、北緯何度以上の地域か。整数で答えよ。

ある実視連星は、恒星 A と恒星 B からなる。どちらの恒星も、共通重心のまわりを同じ周期の円軌道で公転している。軌道面は視線方向に垂直である。

この連星を長期間観測し、固有運動の影響を取り除いて、次の結果を得た。

次の事実を用いてよい。

• 年周視差が $p{[}^{\prime \prime }]$ の恒星までの距離は $\frac{1}{p}$ パーセクである。
• 距離 $d$ パーセクの位置で視線に垂直な長さ $1$ 天文単位を見込む角は $\frac{1}{d}{[}^{\prime \prime }]$ である。
• ケプラーの第三法則により、相対軌道の半径を $a$ [天文単位]、公転周期を $P$ [年]、2 つの恒星の質量を $M_A$, $M_B$ [太陽質量] とすると、$\frac{a^3}{P^2}=M_A+M_B$ が成り立つ。

恒星 A の質量は太陽質量の何倍か。有効数字 2 桁で求めよ。

恒星 A と恒星 B は、スペクトル型と光度階級が同じで、真の明るさ（絶対等級）が等しいことがわかっている。2 つの恒星の観測結果は次の表のとおりである。

恒星 B の年周視差は何秒角か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、恒星までの距離 $d$〔パーセク〕と年周視差 $p$〔秒角〕の間には $d=\frac{1}{p}$ の関係があり、見かけの等級が $5$ 等小さいと明るさは $100$ 倍になるものとする。また、恒星の見かけの明るさは距離の 2 乗に反比例し、星間物質による減光は無視できるものとする。必要なら ${\log }_{10}2=0.30$ を用いよ。

ある外惑星 P を地球から観測したところ、P が衝になってから次に衝になるまでの期間（会合周期）は $417$ 日であった。地球と P はどちらも太陽を中心とする円軌道上を同じ向きに一定の速さで公転しているものとし、地球の公転周期を $365$ 日、地球の公転軌道の半径を $1$ 天文単位とする。

ケプラーの第三法則を用いて、P の公転軌道の半径は何天文単位か。小数第 1 位を四捨五入して整数で答えよ。

地球から火星へ探査機を送る。地球と火星は、太陽を中心とする同一平面上の円軌道を同じ向きに一定の速さで公転しているものとする。地球の軌道半径を $1.00$ 天文単位、公転周期を $1.00$ 年とし、火星の軌道半径を $1.52$ 天文単位、公転周期を $1.88$ 年とする。

探査機は地球の位置から、地球の公転と同じ向きに打ち上げられる。打ち上げ後は太陽の引力だけを受けて、太陽を 1 つの焦点とする楕円軌道を運動する。この楕円軌道の近日点は打ち上げ時の地球の位置、遠日点は火星の軌道上にあり、探査機は近日点から遠日点まで楕円軌道のちょうど半周を進んで、遠日点で火星に到着する。

このように探査機を火星に到着させるには、打ち上げの瞬間に、太陽から見て火星が地球よりも公転の向きに何度先行していなければならないか。小数第 1 位を四捨五入して整数で求めよ。ただし、太陽のまわりを公転する天体では、軌道長半径を天文単位、公転周期を年で表すと、ケプラーの第 3 法則は $\frac{a^3}{T^2}=1$ と書けるものとする。必要なら $1.26^3=2.00$、$\sqrt{2}=1.41$ を用いよ。