太陽系と天体の運動の問題

ある実視連星は、恒星 A と恒星 B からなる。どちらの恒星も、共通重心のまわりを同じ周期の円軌道で公転している。軌道面は視線方向に垂直である。

この連星を長期間観測し、固有運動の影響を取り除いて、次の結果を得た。

次の事実を用いてよい。

• 年周視差が $p{[}^{\prime \prime }]$ の恒星までの距離は $\frac{1}{p}$ パーセクである。
• 距離 $d$ パーセクの位置で視線に垂直な長さ $1$ 天文単位を見込む角は $\frac{1}{d}{[}^{\prime \prime }]$ である。
• ケプラーの第三法則により、相対軌道の半径を $a$ [天文単位]、公転周期を $P$ [年]、2 つの恒星の質量を $M_A$, $M_B$ [太陽質量] とすると、$\frac{a^3}{P^2}=M_A+M_B$ が成り立つ。

恒星 A の質量は太陽質量の何倍か。有効数字 2 桁で求めよ。

地球とは別の、ある惑星 X を考える。惑星 X は太陽のまわりを公転しながら自転しており、その自転軸は公転面に垂直な方向から一定の角度 $\epsilon$ だけ傾いている（$0^{\circ }<\epsilon <90^{\circ }$）。惑星 X の北半球の夏至の日には太陽の赤緯が $+\epsilon$、冬至の日には $-\epsilon$ になる。また、1 日のあいだの太陽の赤緯の変化は無視できるものとする。

惑星 X の北半球にある地点 A（緯度は不明）で太陽の南中（子午線通過）を観測したところ、次の結果を得た。

この観測結果をもとに、惑星 X の北緯 $40^{\circ }$ の地点における夏至の日の太陽の南中高度は何度か。整数で求めよ。ただし、大気による光の屈折は無視し、太陽は点とみなす。

黄道の北極の方向にある恒星 S を 1 年間観測した。S は、はるか遠方の恒星を背景として、天球上で 1 年周期の小さな円を描くように見えた。その円の直径を角度で表すと $0.050^{\prime \prime }$ であった。

地球は太陽を中心とする半径 $1$ 天文単位の円軌道を公転しているものとする。$1$ パーセクは、年周視差（恒星から地球の公転軌道半径を見込む角）が $1^{\prime \prime }$ となる距離であり、$1$ パーセク $=3.26$ 光年とする。年周視差は十分に小さく、恒星までの距離は年周視差に反比例するとしてよい。

恒星 S までの距離は何光年か。有効数字 2 桁で求めよ。

地球から火星へ探査機を送る。地球と火星は、太陽を中心とする同一平面上の円軌道を同じ向きに一定の速さで公転しているものとする。地球の軌道半径を $1.00$ 天文単位、公転周期を $1.00$ 年とし、火星の軌道半径を $1.52$ 天文単位、公転周期を $1.88$ 年とする。

探査機は地球の位置から、地球の公転と同じ向きに打ち上げられる。打ち上げ後は太陽の引力だけを受けて、太陽を 1 つの焦点とする楕円軌道を運動する。この楕円軌道の近日点は打ち上げ時の地球の位置、遠日点は火星の軌道上にあり、探査機は近日点から遠日点まで楕円軌道のちょうど半周を進んで、遠日点で火星に到着する。

このように探査機を火星に到着させるには、打ち上げの瞬間に、太陽から見て火星が地球よりも公転の向きに何度先行していなければならないか。小数第 1 位を四捨五入して整数で求めよ。ただし、太陽のまわりを公転する天体では、軌道長半径を天文単位、公転周期を年で表すと、ケプラーの第 3 法則は $\frac{a^3}{T^2}=1$ と書けるものとする。必要なら $1.26^3=2.00$、$\sqrt{2}=1.41$ を用いよ。

ある外惑星 P を地球から観測したところ、P が衝になってから次に衝になるまでの期間（会合周期）は $417$ 日であった。地球と P はどちらも太陽を中心とする円軌道上を同じ向きに一定の速さで公転しているものとし、地球の公転周期を $365$ 日、地球の公転軌道の半径を $1$ 天文単位とする。

ケプラーの第三法則を用いて、P の公転軌道の半径は何天文単位か。小数第 1 位を四捨五入して整数で答えよ。