年周視差と恒星までの距離

年周視差 $p$ 〔秒角〕から $d = \frac{1}{p}$ 〔pc〕で恒星までの距離を求め、 $1 pc = 3.26$ 光年などで光年に換算できる。天球上に描く円・楕円の直径（ $2 p$ ）から年周視差を読み取れる

前提

比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
太陽系の天体と銀河系（中学理科地学分野の用語と知識）
星の日周運動・年周運動と星座（中学理科地学分野の用語と知識）

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算数中学高校大学大学院

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比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
太陽系の天体と銀河系（中学理科地学分野の用語と知識）
太陽の日周運動と季節の変化（中学理科地学分野の用語と知識）
星の日周運動・年周運動と星座（中学理科地学分野の用語と知識）

説明

近くの恒星が 1 年かけて天球上でわずかに円や楕円を描くように動いて見えることを使い、その恒星までの距離を求められるようになります。この見かけの動きの大きさを表す角を年周視差 $p$ といい、 $p$ を秒角で表すと、距離はパーセク（pc）を単位として $d = \frac{1}{p}$ で求められます。さらに $1 pc = 3.26$ 光年を使えば光年に直せます。恒星の観測データから距離を計算する問題で使います。

なぜそうしてよいのか

地球は太陽のまわりを半径約 $1$ 天文単位（太陽と地球の平均距離。 $1 au$ と書く）で公転しています。地球が動けば、近くの恒星を見る方向も少しずつ変わります。腕を伸ばして親指を立て、右目と左目で交互に見ると、遠くの背景に対して親指の位置がずれて見えるのと同じです。そのため、近くの恒星は、ずっと遠くの恒星を背景にして、1 年で 1 周する小さな円（または楕円）を天球上に描くように見えます。このずれを視差といいます。年周視差 $p$ は、恒星から見て、太陽と地球の間（ $1 au$ ）を見込む角として決めます。天球上に描かれる円や楕円の長いほうの直径は、地球が太陽の反対側にあるとき同士の方向の差、つまり $2 au$ を見込む角なので $2 p$ です。したがって、直径の半分が年周視差です。

恒星が遠いほど、同じ $1 au$ を見込む角は小さくなります。このようにとても小さな角では、見込む角は距離に反比例すると考えてよいことが知られています（同じ長さの棒を 2 倍遠くから見ると、見込む角はほぼ半分になる）。そこで、 $1 au$ を見込む角がちょうど $1$ 秒角（ $1^{\circ}$ の $\frac{1}{3600}$ ）になる距離を $1$ パーセク（pc）と決めます。すると、年周視差が $p$ 秒角の恒星までの距離は、 $1 pc$ の $\frac{1}{p}$ 倍なので
$d = \frac{1}{p} 〔 pc 〕$
となります。たとえば $p = 0.5$ 秒角なら $d = 2 pc$ です。

$1 pc$ は約 $3.26$ 光年（光が $3.26$ 年かかって進む距離）なので、光年で表したいときは $d 〔光年〕 = 3.26 \times \frac{1}{p}$ と換算します。年周視差はどの恒星でも $1$ 秒角より小さいので、恒星までの距離はどれも $1 pc$ より遠くなります。

手順

年周視差 $p$ を読み取る: 天球上に描く円・楕円の直径（長いほう）が与えられていれば、その半分が $p$ （直径 $= 2 p$ ）。
$p$ の単位が秒角であることを確かめる（分や度で与えられていれば秒角に直す。 $1^{'} = 6 0^{''}$ 、 $1^{\circ} = 360 0^{''}$ ）。
距離をパーセクで求める: $d = \frac{1}{p}$ 〔pc〕。
光年で答えるときは、与えられた換算値（例: $1 pc = 3.26$ 光年）を掛ける: $d 〔光年〕 = 3.26 \times d 〔 pc 〕$ 。
問題文の丸め方の指示に従って答える。

例題

ある恒星の位置を 1 年間観測したところ、遠方の恒星を背景にして、天球上に長いほうの直径が $0.40$ 秒角の楕円を描くように動いて見えた。この恒星までの距離は何光年か。小数第 1 位まで求めよ。ただし、 $1 pc = 3.26$ 光年とする。

例題の解答

手順 1: 天球上に描く楕円の長いほうの直径は $2 p$ なので、 $2 p = 0.40$ 秒角より、年周視差は $p = 0.20$ 秒角。

手順 2: $p$ はすでに秒角で表されている。

手順 3: $d = \frac{1}{p} = \frac{1}{0.20} = 5$ 〔pc〕。

手順 4: 光年に換算すると $5 \times 3.26 = 16.3$ 〔光年〕。

手順 5: 小数第 1 位まで求めると $16.3$ 。

よって距離は 16.3 光年。

答え: $16.3$

よくある誤り

天球上に描く円・楕円の直径をそのまま年周視差としてしまう誤り。正しくは、直径は $2 p$ なので、年周視差は直径の半分である（直径 $0.40$ 秒角なら $p = 0.20$ 秒角で $d = 5 pc$ 。 $p = 0.40$ として $d = 2.5 pc$ とするのは誤り）。
距離が年周視差に比例するとして $d = p$ のようにしてしまう誤り。正しくは、遠い恒星ほど年周視差は小さいので、距離は年周視差に反比例し $d = \frac{1}{p}$ 〔pc〕である。
パーセクと光年の換算を逆にして、 $3.26$ で割ってしまう誤り。正しくは $1 pc = 3.26$ 光年なので、光年の値はパーセクの値に $3.26$ を掛けたものになる（ $5 pc = 16.3$ 光年）。
$p$ を秒角以外の単位のまま $d = \frac{1}{p}$ に代入してしまう誤り。正しくは、この式は $p$ が秒角のときだけ成り立つので、分や度で与えられたら秒角に直してから使う。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある恒星の年周視差を測定したところ、 $0.25$ 秒角（ $0.2 5^{''}$ ）であった。
年周視差 $p$ 〔秒角〕の恒星までの距離 $d$ 〔pc〕は
$d = \frac{1}{p}$
で求められる。この恒星までの距離は何 pc（パーセク）か。

この技能を使う問題

恒星	年周視差	見かけの等級
A	$0.1 0^{''}$	$2.0$
B	測定できなかった	$8.5$

難易度 3（共通テストレベル）

ある実視連星は、恒星 A と恒星 B からなる。どちらの恒星も、共通重心のまわりを同じ周期の円軌道で公転している。軌道面は視線方向に垂直である。

この連星を長期間観測し、固有運動の影響を取り除いて、次の結果を得た。

観測内容	結果
地球の公転によって、連星の共通重心が天球上に描く楕円の長軸の長さ（端から端まで）	$0.5 0^{''}$
恒星 B から見た恒星 A の相対軌道（円）の角半径	$2. 0^{''}$
共通重心から見た恒星 A の軌道（円）の角半径	$0.5 0^{''}$
公転周期	$16$ 年

次の事実を用いてよい。

年周視差が $p [^{''}]$ の恒星までの距離は $\frac{1}{p}$ パーセクである。
距離 $d$ パーセクの位置で視線に垂直な長さ $1$ 天文単位を見込む角は $\frac{1}{d} [^{''}]$ である。
ケプラーの第三法則により、相対軌道の半径を $a$ [天文単位]、公転周期を $P$ [年]、2 つの恒星の質量を $M_{A}$ , $M_{B}$ [太陽質量] とすると、 $\frac{a ^{3}}{P ^{2}} = M_{A} + M_{B}$ が成り立つ。

恒星 A の質量は太陽質量の何倍か。有効数字 2 桁で求めよ。