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太陽の赤緯と南中高度

太陽の赤緯 $\delta$（夏至 $+\epsilon$、冬至 $-\epsilon$、春分・秋分 $0^{\circ }$）と緯度 $\phi$ から南中高度 $h=90^{\circ }-\phi +\delta$ を求め、天頂より北側を通る場合も含めて、南中高度の観測値から緯度や地軸の傾き $\epsilon$ を求められる

前提

• 太陽の南中高度と緯度・季節 （中学理科 地球と宇宙）

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. 観測日の太陽の赤緯 $\delta$ を決める: 夏至 $+\epsilon$、冬至 $-\epsilon$、春分・秋分 $0^{\circ }$（$\epsilon$ は地軸の傾き）。

2. 太陽が南の空で南中するときは $h=90^{\circ }-\phi +\delta$ を書く（北半球、$\phi$ は緯度）。

3. 太陽が天頂より北側（北の空）で南中するとき（$\delta >\phi$）は、北の地平線から測った高度 $h^{\prime }=90^{\circ }+\phi -\delta$ を使う。

4. わかっている量を代入し、求めたい量（$h$、$\phi$、$\delta$ のどれか）について解く。

5. 地軸の傾きを求めるときは、同じ地点の夏至と冬至の南中高度（どちらも南の空）の差が $2\epsilon$ になることを使う。

6. 求めた値が範囲に合っているか（$0^{\circ }<h\le 90^{\circ }$ など）を確かめる。

例題

よくある誤り

• 赤緯の符号を逆にして、冬至の南中高度を $90^{\circ }-\phi +\epsilon$ としてしまう誤り。正しくは、北半球の冬至の太陽は天の赤道より南にあり $\delta =-\epsilon$ なので、$h=90^{\circ }-\phi -\epsilon$（$\phi =35^{\circ }$、$\epsilon =23.4^{\circ }$ なら $31.6^{\circ }$）。

• $90^{\circ }-\phi +\delta$ が $90^{\circ }$ を超えたのに、その値を南中高度としてしまう誤り。高度は $90^{\circ }$ を超えない。$\delta >\phi$ のときは太陽は天頂より北側を通り、北の地平線からの高度は $90^{\circ }+\phi -\delta$ である（例: $\phi =10^{\circ }$、$\delta =23.4^{\circ }$ なら $103.4^{\circ }$ ではなく、北の空で $76.6^{\circ }$）。

• 北の空で南中した観測値に、そのまま $h=90^{\circ }-\phi +\delta$ を使って緯度を求めてしまう誤り。正しくは、北の空で南中したときは $h^{\prime }=90^{\circ }+\phi -\delta$ を使う（例: 夏至に北の空で高度 $76.6^{\circ }$ なら $\phi =76.6^{\circ }-90^{\circ }+23.4^{\circ }=10^{\circ }$）。

• 夏至と冬至の南中高度の差を $\epsilon$ としてしまう誤り。正しくは、差は $(90^{\circ }-\phi +\epsilon )-(90^{\circ }-\phi -\epsilon )=2\epsilon$ なので、$\epsilon$ は差の半分である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  北半球のある地点で、冬至の日に太陽の南中高度を測定したところ、$31.1^{\circ }$ であった。冬至の日の太陽の赤緯を $-23.4^{\circ }$ とし、緯度 $\phi$、太陽の赤緯 $\delta$ の地点での太陽の南中高度 $h$ は
  $$h=90^{\circ }-\phi +\delta$$
  で表されるものとする。この地点の緯度は北緯何度か。度を単位とした数値で答えよ。

この技能を使う問題

• 難易度 2（教科書の章末問題レベル）

  地球とは別の惑星 X を考える。X は太陽のまわりを円軌道で公転しながら自転しており、自転軸の向きは公転中つねに一定である。ただし、X の自転軸の公転面に垂直な方向からの傾き（地軸の傾き）$\epsilon$ はわかっていない。

  X の北半球のある地点 A（緯度はわかっていない）で、水平な地面に長さ $1.00\text{m}$ の棒を鉛直に立て、太陽が南中したときの棒の影の長さを測定した。その結果は次の表のとおりである。どちらの日も、影は棒の真北の向きにのびていた。

  観測日	南中時の影の長さ
  夏至の日	$0.364\text{m}$
  冬至の日	$2.747\text{m}$

  必要であれば、次の三角比の値を用いよ。

  角度	$15^{\circ }$	$20^{\circ }$	$25^{\circ }$	$65^{\circ }$	$70^{\circ }$	$75^{\circ }$
  $\tan$	$0.268$	$0.364$	$0.466$	$2.145$	$2.747$	$3.732$

  大気による光の屈折は無視し、太陽は大きさのない点とみなす。また、夏至・冬至の日の間は太陽の赤緯は一定とみなす。

  X の北半球で、冬至の日に太陽の南中高度が $0^{\circ }$ 以下となる（一日中太陽が地平線より上に出ない）地域は、北緯何度以上の地域か。整数で答えよ。

• 難易度 3（共通テストレベル）

  地球とは別の、ある惑星 X を考える。惑星 X は太陽のまわりを公転しながら自転しており、その自転軸は公転面に垂直な方向から一定の角度 $\epsilon$ だけ傾いている（$0^{\circ }<\epsilon <90^{\circ }$）。惑星 X の北半球の夏至の日には太陽の赤緯が $+\epsilon$、冬至の日には $-\epsilon$ になる。また、1 日のあいだの太陽の赤緯の変化は無視できるものとする。

  惑星 X の北半球にある地点 A（緯度は不明）で太陽の南中（子午線通過）を観測したところ、次の結果を得た。

  観測日	太陽が子午線を通過したときの方角	そのときの高度
  夏至の日	天頂より北側（北の空）	$80^{\circ }$（北の地平線から測る）
  冬至の日	天頂より南側（南の空）	$50^{\circ }$（南の地平線から測る）

  この観測結果をもとに、惑星 X の北緯 $40^{\circ }$ の地点における夏至の日の太陽の南中高度は何度か。整数で求めよ。ただし、大気による光の屈折は無視し、太陽は点とみなす。

この技能の次に学べること

• 棒の影の長さと太陽高度 （高校地学 太陽系と天体の運動）
• 白夜・極夜が起こる緯度 （高校地学 太陽系と天体の運動）