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白夜・極夜が起こる緯度

冬至の日の南中高度 $90^{\circ }-\phi -\epsilon \le 0^{\circ }$、夏至の日の北中高度が $0^{\circ }$ 以上となる条件から、地軸の傾き $\epsilon$ の惑星で一日中太陽が昇らない（または沈まない）地域の緯度の範囲を求められる

前提

• 太陽の赤緯と南中高度 （高校地学 太陽系と天体の運動）

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. 白夜（太陽が沈まない）と極夜（太陽が昇らない）のどちらを考えるのかを決める。

2. 極夜なら、冬至の日（$\delta =-\epsilon$）の南中高度 $90^{\circ }-\phi -\epsilon$ を書き、$90^{\circ }-\phi -\epsilon \le 0^{\circ }$ とおく。

3. 白夜なら、夏至の日（$\delta =+\epsilon$）の北中高度 $\phi +\epsilon -90^{\circ }$ を書き、$\phi +\epsilon -90^{\circ }\ge 0^{\circ }$ とおく。

4. 不等式を $\phi$ について解く: どちらも $\phi \ge 90^{\circ }-\epsilon$。

5. 与えられた $\epsilon$ を代入し、緯度の範囲 $90^{\circ }-\epsilon \le \phi \le 90^{\circ }$ を答える（問いが境目の緯度なら $90^{\circ }-\epsilon$）。

例題

よくある誤り

• 境目の緯度を地軸の傾き $\epsilon$ そのものとしてしまう誤り。正しくは、条件 $90^{\circ }-\phi -\epsilon \le 0^{\circ }$ から境目は $\phi =90^{\circ }-\epsilon$ である（$\epsilon =25^{\circ }$ なら $65^{\circ }$。$25^{\circ }$ ではない）。

• 冬至の日の南中高度を $90^{\circ }-\phi +\epsilon$ としてしまう誤り。正しくは、北半球の冬至の太陽の赤緯は $-\epsilon$ なので南中高度は $90^{\circ }-\phi -\epsilon$ である。

• 白夜の条件を「夏至の日の南中高度が $0^{\circ }$ 以上」としてしまう誤り。南中高度が $0^{\circ }$ 以上なのは昼に太陽が出ることを示すだけで、沈まないことにはならない。正しくは、1 日で最も低くなる北中時の高度 $\phi +\epsilon -90^{\circ }$ が $0^{\circ }$ 以上になることが条件である。

• 地軸の傾きが大きいほど白夜・極夜が起こる範囲がせまくなるとしてしまう誤り。正しくは、境目の緯度 $90^{\circ }-\epsilon$ は $\epsilon$ が大きいほど低くなるので、範囲は広くなる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  地軸が公転面に垂直な方向から $\epsilon =25^{\circ }$ 傾いている惑星がある。この惑星の北半球の緯度 $\phi$ の地点で、北半球が冬至のとき（太陽の赤緯が $-\epsilon$ のとき）の太陽の南中高度は
  $$h=90^{\circ }-\phi -\epsilon$$
  で表される。南中高度が $0^{\circ }$ 以下になる地点では、その日太陽は一日中昇らない（極夜になる）ものとする。

  この惑星の北半球にある観測地点 A〜F の緯度は、次の表のとおりである。

  地点	A	B	C	D	E	F
  緯度	北緯 $40^{\circ }$	北緯 $58^{\circ }$	北緯 $63^{\circ }$	北緯 $67^{\circ }$	北緯 $74^{\circ }$	北緯 $85^{\circ }$

  地点 A〜F のうち、北半球の冬至の日に極夜になる地点は何か所あるか。

この技能を使う問題

• 難易度 2（教科書の章末問題レベル）

  地球とは別の惑星 X を考える。X は太陽のまわりを円軌道で公転しながら自転しており、自転軸の向きは公転中つねに一定である。ただし、X の自転軸の公転面に垂直な方向からの傾き（地軸の傾き）$\epsilon$ はわかっていない。

  X の北半球のある地点 A（緯度はわかっていない）で、水平な地面に長さ $1.00\text{m}$ の棒を鉛直に立て、太陽が南中したときの棒の影の長さを測定した。その結果は次の表のとおりである。どちらの日も、影は棒の真北の向きにのびていた。

  観測日	南中時の影の長さ
  夏至の日	$0.364\text{m}$
  冬至の日	$2.747\text{m}$

  必要であれば、次の三角比の値を用いよ。

  角度	$15^{\circ }$	$20^{\circ }$	$25^{\circ }$	$65^{\circ }$	$70^{\circ }$	$75^{\circ }$
  $\tan$	$0.268$	$0.364$	$0.466$	$2.145$	$2.747$	$3.732$

  大気による光の屈折は無視し、太陽は大きさのない点とみなす。また、夏至・冬至の日の間は太陽の赤緯は一定とみなす。

  X の北半球で、冬至の日に太陽の南中高度が $0^{\circ }$ 以下となる（一日中太陽が地平線より上に出ない）地域は、北緯何度以上の地域か。整数で答えよ。