重力異常

観測値・補正値の表から重力異常（フリーエア異常・ブーゲー異常）を計算し、その正負から地下に周囲より密度の大きい物質・小さい物質があるかを判定できる

前提

重力加速度から求める地球の質量（高校地学地球の形と内部構造）
地球の形とジオイド（高校地学地球の形と内部構造（知識））

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算数中学高校大学大学院

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説明

ある地点で測った重力（観測値）を、標高や地形の影響を取り除くように補正し、その緯度で地球の楕円体から期待される重力（標準重力）と比べた差を重力異常といいます。補正の仕方によって、フリーエア異常とブーゲー異常があります。この技能では、観測値と補正値の表から重力異常を計算し、その正負から、地下に周囲より密度の大きい物質があるか小さい物質があるかを判定します。地下資源の探査や、山の根・沈み込み帯などの地下構造を調べるときに使います。

なぜそうしてよいのか

重力の大きさは、場所によって少しずつ違います。その原因には、(1) 緯度（地球が回転楕円体で自転していること）、(2) 観測点の高さ、(3) 観測点とジオイド（ほぼ平均海面）の間にある岩石、(4) 地下の密度の違い、があります。重力異常は、(1)〜(3) の分を計算で取り除いて、(4) だけを取り出すための量です。重力の小さな差は $mGal$ （ミリガル）で表し、 $1 Gal = 1 cm/ s^{2}$ 、 $1 mGal = 1 0^{- 3} Gal = 1 0^{- 5} m/ s^{2}$ です。このページでは、フリーエア補正・ブーゲー補正はどちらも「補正の大きさ」を表す正の量とし、フリーエア補正は観測値に足す量、ブーゲー補正は観測値から引く量として扱います。

(1) は標準重力 $γ$ （ジオイド上で、その緯度で期待される重力）を引くことで取り除きます。(2) について、地表の重力は $g = \frac{GM}{r ^{2}}$ で、地球の中心からの距離 $r$ の 2 乗に反比例します。高さ $h$ の地点では $r = R + h$ で、 $h$ が $R$ よりずっと小さいとき $\frac{1}{( R + h ) ^{2}} \approx \frac{1}{R ^{2}} (1 - \frac{2 h}{R})$ なので、重力は約 $\frac{2 g}{R} h$ だけ小さくなります。 $g = 9.8 m/ s^{2}$ 、 $R = 6.4 \times 1 0^{6} m$ なら $\frac{2 g}{R} \approx 3.1 \times 1 0^{- 6} m/ s^{2}$ が $1 m$ あたりの減少で、これは約 $0.31 mGal$ です。高い地点ではこの分だけ重力が小さく測られているので、この分を観測値に足しもどします（フリーエア補正）。
$フリーエア異常 = g_{観測} + (フリーエア補正) - γ$

(3) について、高い地点の下には、ジオイドとの間に岩石があり、その岩石の引力の分だけ重力は大きく測られています。この分（ブーゲー補正）を引いたものがブーゲー異常です。
$ブーゲー異常 = g_{観測} + (フリーエア補正) - (ブーゲー補正) - γ$
こうして (1)〜(3) を取り除いたあとに残る差は、地下の密度の違いによるものと考えられます。地下に周囲より密度の大きい物質があれば、その分だけ引力が強くなって異常は正に、密度の小さい物質があれば負になります。

手順

表から、観測値 $g_{観測}$ 、標準重力 $γ$ 、フリーエア補正の大きさ、ブーゲー補正の大きさを読み取る（補正の大きさが「標高 $1 m$ あたり」で与えられていれば、標高 $h$ をかけて求める）
フリーエア異常を求める（フリーエア補正は足す）: $g_{観測} + (フリーエア補正) - γ$
ブーゲー異常を求めるときは、さらにブーゲー補正を引く: $g_{観測} + (フリーエア補正) - (ブーゲー補正) - γ$
異常の符号から判定する: 正なら地下に周囲より密度の大きい物質、負なら密度の小さい物質があると考える

例題

ある山地の標高 $500 m$ の地点で重力を測定し、次の値を得た。補正の大きさはどちらも正の値で示してあり、フリーエア補正は観測値に足す量、ブーゲー補正は観測値から引く量である。

項目	値
重力の観測値	$979690 mGal$
この地点の緯度の標準重力（ジオイド上）	$979800 mGal$
フリーエア補正の大きさ（標高 $1 m$ あたり、観測値に足す）	$0.31 mGal$
ブーゲー補正の大きさ（標高 $1 m$ あたり、観測値から引く）	$0.11 mGal$

地形の凹凸による補正は考えなくてよいものとして、この地点のブーゲー異常は何 mGal か。整数で求めよ。

例題の解答

手順 1（値を読み取る）
$g_{観測} = 979690 mGal$ 、 $γ = 979800 mGal$ 。
フリーエア補正: $0.31 \times 500 = 155 mGal$ （足す量）
ブーゲー補正: $0.11 \times 500 = 55 mGal$ （引く量）

手順 2（フリーエア異常）
$979690 + 155 - 979800 = 45 mGal$

手順 3（ブーゲー異常）
フリーエア異常からブーゲー補正を引いて
$45 - 55 = - 10 mGal$

手順 4（判定）
ブーゲー異常が負なので、この山地の地下には周囲より密度の小さい物質がある（山の根のように、密度の小さい地殻が厚くなっている）と考えられる。

よって、ブーゲー異常は $- 10 mGal$ 。

答え: $- 10$

よくある誤り

足す量であるフリーエア補正を観測値から引いてしまう誤り（例題なら $979690 - 155 - 979800 = - 265$ ）。高いところほど地球の中心から遠くて重力が小さく測られるので、正しくはその分を足しもどして $g_{観測} + 0.31 h$ 。
引く量であるブーゲー補正を足してしまう誤り（例題なら $45 + 55 = 100$ ）。観測点の下の岩石の引力の分だけ重力は大きく測られているので、正しくはその分を引いて $45 - 55 = - 10 mGal$ 。
標準重力から観測値を引いて $γ - g_{観測}$ の向きで差をとってしまい、符号が逆になる誤り。重力異常は「補正した観測値 $-$ 標準重力」で、正しくは $g_{観測} + (フリーエア補正) - (ブーゲー補正) - γ$ 。
重力異常が負のときに、地下に密度の大きい物質があると判定してしまう誤り。密度の大きい物質があれば引力が強くなって重力は大きくなるので、正しくは異常が正なら密度の大きい物質、負なら密度の小さい物質。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）

標高 $500 m$ のある地点で重力を測定し、次の表の値を得た。単位はすべて mGal（ミリガル）である。

項目	値（mGal）
重力の観測値	$979650.0$
フリーエア補正（高さの補正）	$+ 154.0$
ブーゲー補正（観測点とジオイドの間の岩石の引力の補正）	$- 56.0$
この地点の標準重力	$979800.0$

ブーゲー異常は、観測値にフリーエア補正とブーゲー補正を加えた値から標準重力を引いたものとする（地形補正は考えない）。この地点のブーゲー異常は何 mGal か。