円運動・単振動・万有引力の問題

地球を半径 $R$ の一様な球とみなし、地表での重力加速度の大きさを $g$ とする。人工衛星 S が、地球の中心 O を中心とする半径 $2R$ の円軌道（地表からの高さ $R$）上を等速円運動している。万有引力定数を $G$、地球の質量を $M$ とし、地表の重力は地球からの万有引力に等しい（地球の自転の影響は無視する）とする。人工衛星 S の速さ $v$ を、$g$ と $R$ を用いて表せ。ただし、衛星にはたらく力は地球からの万有引力だけとする。

地球を、中心 $\mathrm{O}$、半径 $R=6.4\times 10^6\mathrm{m}$ の一様な球とみなし、地表での重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。人工衛星 $\mathrm{S}$ が、$\mathrm{O}$ を中心とする半径 $4R$ の円軌道上を等速円運動している。衛星にはたらく力は地球からの万有引力だけとし、地球の自転と、地球以外の天体からの影響は考えない。地球の質量を $M$、万有引力定数を $G$ とすると、$GM=g{R}^2$ が成り立つものとする。この衛星の周期は何 s か。円周率を $\pi =3.14$ として、有効数字 2 桁で求めよ。

地球を、中心 $\mathrm{O}$、半径 $R$、質量 $M$ の一様な球とみなす。万有引力定数を $G$、地表での重力加速度の大きさを $g$ とする。地球の自転、空気抵抗、地球以外の天体の影響は無視する。また、万有引力による位置エネルギーは無限遠を基準にとり、地球の中心から距離 $r$ の位置にある質量 $m$ の物体について $U=-G\frac{Mm}{r}$ と表される。

地球の中心 $\mathrm{O}$ から距離 $4R$ の点 $\mathrm{A}$ で、質量 $m$ の小物体を静かにはなしたところ、小物体は直線 $\mathrm{OA}$ に沿って落下し、地表の点 $\mathrm{B}$ に達した。小物体が点 $\mathrm{B}$ に達する直前の速さを、$g$ と $R$ を用いて表せ。

地球を、中心 $\mathrm{O}$、半径 $R$ の一様な球とみなす。地表での重力加速度の大きさを $g$ とし、地球の自転と、地球以外の天体からの影響は考えない。

質量 $m$ の人工衛星が、$\mathrm{O}$ を中心とする半径 $2R$ の円軌道をまわっている。この人工衛星を、$\mathrm{O}$ を中心とする半径 $4R$ の円軌道に移す。人工衛星の力学的エネルギー（運動エネルギーと万有引力による位置エネルギーの和）は、移す前と移したあとでどれだけ増加するか。$m$, $g$, $R$ を用いて表せ。ただし、万有引力による位置エネルギーの基準は無限遠とし、人工衛星の質量は地球の質量に比べて十分小さいものとする。

質量 $M$ の地球の中心 $\mathrm{O}$ を 1 つの焦点とする楕円軌道の上を、質量 $m$ の人工衛星が運動している。地球の中心から最も近い点（近地点）$\mathrm{P}$ での $\mathrm{O}$ からの距離は $r$、最も遠い点（遠地点）$\mathrm{Q}$ での $\mathrm{O}$ からの距離は $3r$ である。万有引力定数を $G$ とし、人工衛星には地球からの万有引力だけがはたらき、地球は静止しているものとする。また、万有引力による位置エネルギーは無限遠を基準とする。人工衛星が近地点 $\mathrm{P}$ を通過するときの速さを、$G$, $M$, $r$ を用いて表せ。