円運動・単振動・万有引力の問題

頂点を上に向け、中心軸を鉛直にして置いた円すいがある。円すいの外側の面（側面）と水平面とのなす角は $30^{\circ }$ である。この外側の面上で、中心軸からの距離が $r$ の位置に質量 $m$ の小物体を置いた。円すいを中心軸のまわりに一定の角速度 $\omega$ で回転させると、小物体は面に対してすべらず、円すいと一緒に半径 $r$ の水平な等速円運動をした。小物体と面のあいだの静止摩擦係数を $1$、重力加速度の大きさを $g$ とする。小物体が面に対してすべらない $\omega$ の最大値を、$r$, $g$ を用いて表せ。ただし、小物体の大きさと空気抵抗は無視する。

頂点を下に向け、中心軸を鉛直にして固定した円すい面がある。円すい面の内側の面と水平面とのなす角は $45^{\circ }$ である。この内側の面上で、中心軸からの距離が $r$ の位置に質量 $m$ の小物体を置く。円すい面を中心軸のまわりに一定の角速度 $\omega$ で回転させたところ、小物体は面に対してすべらずに、半径 $r$ の水平な等速円運動をした。小物体と面のあいだの静止摩擦係数を $\frac{1}{2}$、重力加速度の大きさを $g$ とする。空気抵抗は無視し、小物体の大きさは無視できるものとする。小物体がすべらずに半径 $r$ の等速円運動を続けられる角速度 $\omega$ の最大値を、$g$, $r$ を用いて表せ。

頂点 $\mathrm{V}$ を下に向け、中心軸を鉛直にして置かれた円錐形の容器がある。容器の内面（円錐面）を中心軸を含む鉛直な平面で切ると、内面の線は水平面と角 $\theta$ をなし、$\tan \theta =\frac{3}{4}$ である。この容器は中心軸のまわりに一定の角速度で回転させることができる。

容器の内面上の、中心軸からの距離が $r$ の点 $\mathrm{P}$ に、大きさの無視できる小物体を置く。小物体と内面のあいだの静止摩擦係数は $\frac{1}{2}$ である。容器を一定の角速度 $\omega$ で回転させたところ、小物体は内面に対してすべらずに $\mathrm{P}$ にとどまり、容器と一緒に半径 $r$ の等速円運動をした。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。

小物体が内面に対してすべらずに $\mathrm{P}$ にとどまることができる $\omega$ の最大値を、$g$, $r$ を用いて表せ。

鉛直面内に、なめらかな軌道が固定されている。軌道は、斜面となめらかにつながった水平な床の部分と、床の点 $\mathrm{A}$ を最下点とする中心 $\mathrm{O}$、半径 $0.40\text{m}$ の円形の部分（ループ）からなる。円形の部分の最高点を $\mathrm{B}$ とする（$\mathrm{B}$ は $\mathrm{O}$ の真上、$\mathrm{A}$ から $0.80\text{m}$ の高さにある）。

質量 $0.10\text{kg}$ の小球を、斜面上の点 $\mathrm{P}$（$\mathrm{A}$ から $1.2\text{m}$ の高さ）で静かにはなしたところ、小球は斜面と床をすべり、$\mathrm{A}$ から円形の部分の内側にそって運動し、軌道から離れずに $\mathrm{B}$ を通過した。

小球が $\mathrm{B}$ を通過する瞬間に、軌道から受ける垂直抗力の大きさは何 $\mathrm{N}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、重力加速度の大きさを $9.8{\text{m/s}}^2$ とし、小球の大きさと空気抵抗は無視する。

なめらかな水平面上で、小球が点 $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $0.50\mathrm{m}$ の円周上を、一定の速さ $3.0m/s$ で等速円運動している。この小球の加速度の大きさは何 $m/{\mathrm{s}}^2$ か。有効数字 2 桁で求めよ。