電池の仕事とエネルギー収支

電池が電気量 $Δ Q$ を送り出すときの仕事 $W_{電池} = Δ Q V$ を求め、 $W_{電池} + W_{外力} = Δ U + (ジュール熱)$ から、電池につないだまま極板間隔を変えるときの外力の仕事や、スイッチ操作で発生するジュール熱を求められる

前提

コンデンサーのつなぎ替えと電気量保存（高校物理電場と電位・コンデンサー）

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コンデンサーのつなぎ替えと電気量保存（高校物理電場と電位・コンデンサー）

説明

電池につないだままのコンデンサーの極板間隔を変えたり、スイッチを入れて充電したりすると、電池は電荷を送り出して仕事をします。この技能では、電池の仕事を $W_{電池} = Δ Q V$ で求めます。そのうえでエネルギー収支の式 $W_{電池} + W_{外力} = Δ U + (ジュール熱)$ を立て、外力の仕事や発生するジュール熱を求めます。静電エネルギーの変化だけを見ても答えが出ない問題で使います。

なぜそうしてよいのか

電位差 $V$ の 2 点の間で電気量 $q$ を低い電位から高い電位へ運ぶには、 $q V$ の仕事が必要です。電池は内部で、負極（低電位）から正極（高電位）へ電荷を運び上げています。したがって、電池が電気量 $Δ Q$ を正極から送り出すとき、電池がする仕事は $W_{電池} = Δ Q V$ です。 $V$ は電池の電圧（一定）で、静電エネルギーの式 $\frac{1}{2} Q V$ のような $\frac{1}{2}$ は付きません。電荷が逆向きに電池へ押し戻される場合は $Δ Q < 0$ となり、 $W_{電池}$ は負になります。このとき電池は逆にエネルギーを受け取っています。

コンデンサーと電池を含む回路にエネルギーを入れるものは、電池と、極板を動かす外力です。入ったエネルギーは、コンデンサーの静電エネルギーの増加 $Δ U$ と、導線や抵抗で発生するジュール熱に分かれます。エネルギーは保存されるので、 $W_{電池} + W_{外力} = Δ U + (ジュール熱)$ が成り立ちます。

例として、電荷 0 のコンデンサー（電気容量 $C$ ）を電圧 $V$ の電池で充電する場合を考えます。電池が送り出す電気量は $C V$ なので $W_{電池} = C V^{2}$ です。一方、静電エネルギーは $\frac{1}{2} C V^{2}$ しか増えません。差の $\frac{1}{2} C V^{2}$ は、抵抗の大きさによらずジュール熱になります。また、極板をゆっくり動かすときは電流がほとんど流れないので、ジュール熱は 0 とみなせます。

手順

操作の前と後のそれぞれについて、電気容量・電気量・静電エネルギーを求める（電池につないだままなら電圧は $V$ のまま）。
電池を通った電気量 $Δ Q$ を求める。電池の正極側につながる極板の電気量の変化で、 $Δ Q = Q_{後} - Q_{前}$ とする。
電池の仕事を $W_{電池} = Δ Q V$ で求める（ $Δ Q < 0$ なら負）。
静電エネルギーの変化 $Δ U = U_{後} - U_{前}$ を求める。
$W_{電池} + W_{外力} = Δ U + (ジュール熱)$ を立てる。ゆっくり動かすならジュール熱は 0、外力がなければ $W_{外力} = 0$ として、求めたい量を解く。

例題

電気容量 $C$ の平行板コンデンサーを、電圧 $V$ の電池につないで十分に時間がたった。電池につないだまま、外力を加えて極板間隔をゆっくりともとの 2 倍に広げた。この間に外力がした仕事を、 $C$ , $V$ を用いて求めよ。ただし、極板間は真空で、極板はゆっくり動かすので回路で発生するジュール熱は無視できるものとする。

例題の解答

手順1: 電気容量は極板間隔に反比例するので、操作後の電気容量は $\frac{C}{2}$ です。電圧は $V$ のままなので、電気量は前が $C V$ 、後が $\frac{C V}{2}$ です。静電エネルギーは前が $\frac{1}{2} C V^{2}$ 、後が $\frac{1}{2} \cdot \frac{C}{2} V^{2} = \frac{1}{4} C V^{2}$ です。
手順2: $Δ Q = \frac{C V}{2} - C V = - \frac{C V}{2}$ です。電荷は電池へ押し戻されています。
手順3: $W_{電池} = Δ Q V = - \frac{1}{2} C V^{2}$ です。
手順4: $Δ U = \frac{1}{4} C V^{2} - \frac{1}{2} C V^{2} = - \frac{1}{4} C V^{2}$ です。
手順5: ゆっくり動かすのでジュール熱は 0 です。エネルギー収支の式は $- \frac{1}{2} C V^{2} + W_{外力} = - \frac{1}{4} C V^{2} + 0$ となり、 $W_{外力} = \frac{1}{4} C V^{2}$ です。極板どうしは引き合っているので、引き離す外力が正の仕事をするという結果と合っています。

答え: $\frac{C V ^{2}}{4}$

よくある誤り

電池の仕事を忘れて $W_{外力} = Δ U$ としてしまう誤り。例題なら $W_{外力} = - \frac{1}{4} C V^{2}$ となり、引き離す仕事が負という不自然な答えになる。正しくは $W_{電池} + W_{外力} = Δ U$ から $W_{外力} = \frac{1}{4} C V^{2}$ 。
電池の仕事を静電エネルギーと同じ形で $W_{電池} = \frac{1}{2} Δ Q V$ としてしまう誤り。電池の電圧は一定の $V$ なので、正しくは $W_{電池} = Δ Q V$ （ $\frac{1}{2}$ は付かない）。
電荷が電池に戻る場合も $Δ Q$ を正として $W_{電池} = + \frac{1}{2} C V^{2}$ としてしまう誤り。正しくは $Δ Q = Q_{後} - Q_{前} = - \frac{C V}{2}$ で、 $W_{電池} = - \frac{1}{2} C V^{2}$ （電池がエネルギーを受け取る）。
スイッチを入れて電荷 0 のコンデンサーを充電するとき、抵抗の値が分からないからジュール熱は求められない、または 0 だとしてしまう誤り。正しくは $W_{電池} = C V \cdot V = C V^{2}$ 、 $Δ U = \frac{1}{2} C V^{2}$ より、ジュール熱は $C V^{2} - \frac{1}{2} C V^{2} = \frac{1}{2} C V^{2}$ で、抵抗の値によらない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

電池の仕事とエネルギー収支

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