電場と電位・コンデンサーの問題

極板の間隔が $d$ で、極板間が真空のときの電気容量が $C$ である平行板コンデンサーがある。この極板間に、極板と同じ形・同じ面積で厚さ $\frac{d}{2}$ の帯電していない金属板を、極板と平行に、どちらの極板にも触れないように入れてある。このコンデンサーを電圧 $V$ の電池につないで十分に時間がたった後、電池につないだまま、外力を加えて金属板を極板と平行に動かし、極板間からゆっくりと完全に引き抜いた。この間に外力がした仕事を、$C$, $V$ を用いて表せ。ただし、導線の抵抗は無視でき、極板の端の影響は無視できるものとする。

極板の間隔が $d$ で、極板間が真空のとき電気容量が $3.0\mu \mathrm{F}$ である平行板コンデンサーがある。このコンデンサーの極板間に、極板と同じ形・同じ面積で、厚さ $\frac{d}{2}$、比誘電率 $4$ の誘電体の板を、一方の極板に密着させて極板と平行に入れた。残りの厚さ $\frac{d}{2}$ の部分は真空である。このコンデンサーを電圧 $10\mathrm{V}$ の電池につないで十分に時間がたったとき、コンデンサーに蓄えられている電気量は何 $\mu \mathrm{C}$ か。ただし、極板の端の影響は無視できるものとする。

真空中に置かれた、電気容量 $C$ の平行板コンデンサーがある。このコンデンサーを電圧 $V$ の電池につないで十分に充電した後、電池を切り離した。その後、極板の面積を変えずに、極板の間隔をゆっくりともとの $2$ 倍に広げた。広げた後のコンデンサーに蓄えられている静電エネルギーを、$C$, $V$ を用いて表せ。ただし、極板の間隔は極板の大きさに比べて十分小さく、極板の端の影響は無視できるものとする。

電気容量 $C$ のコンデンサー $C_1$ と電気容量 $2C$ のコンデンサー $C_2$ を直列につなぎ、その両端を電圧 $V$ の電池につないだ。また、$C_2$ の両端には、スイッチ S を $C_2$ と並列につないである。はじめ S は開いており、$C_1$, $C_2$ は電荷をもっていなかった。

十分に時間がたった後、S を閉じた。S を閉じてから十分に時間がたつまでの間に、回路で発生したジュール熱の合計を、$C$, $V$ を用いて表せ。ただし、電池の内部抵抗は無視でき、エネルギーはジュール熱以外に失われないものとする。

極板間が真空のとき電気容量が $1.0\mu \mathrm{F}$ である平行板コンデンサーがある。この極板間の右半分（極板の面積のちょうど半分の部分）に、極板の間隔と同じ厚さで比誘電率 $5.0$ の誘電体をすき間なく入れ、左半分は真空のままにした。このコンデンサーを電圧 $12\mathrm{V}$ の電池につないで十分に時間がたったとき、コンデンサーに蓄えられている電気量は何 $\mu \mathrm{C}$ か。ただし、極板の端の影響は無視できるものとする。