電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導）の問題

真空中に、中心 O、半径 $R$（$R>0$）の薄い導体球殻があり、電荷 $Q$ が球殻の表面に一様に分布している。ほかに電荷はない。真空の誘電率を ${ϵ}_0$ とし、電場のエネルギー密度は $u=\frac{{ϵ}_0}{2}|\mathbf{E}{|}^2$ で与えられるものとする。

中心 O からの距離 $r$ が $R<r<2R$ を満たす領域（球殻の外側で、半径 $2R$ の球面の内側）の電場がもつエネルギー $W$ を、$Q$, $R$, ${ϵ}_0$ を用いて表せ。

真空中に、半径 $a$（$a>0$）の無限に長い円柱があり、その内部にだけ電荷が分布している。中心軸からの距離を $s$ とすると、電荷密度は
$$\rho (s)={\rho }_0\frac{s}{a}(0\leqq s\leqq a)$$
である（${\rho }_0>0$ は定数）。円柱の外部に電荷はない。真空の誘電率を ${ϵ}_0$ とする。

円柱の内部で中心軸からの距離が $r$（$0<r<a$）の点 P における電場の大きさ $E$ を、${\rho }_0$, $a$, $r$, ${ϵ}_0$ を用いて表せ。

半径 $a$（$a>0$）の導体球と、それと中心を共有する内半径 $3a$ の薄い導体球殻からなる球形コンデンサーがある。導体球と導体球殻の間 $a<r<3a$（$r$ は中心からの距離）は、誘電率が
$$\epsilon (r)={\epsilon }_0\frac{r}{a}$$
で表される等方的な線形誘電体で満たされている。ここで ${\epsilon }_0$ は真空の誘電率である。SI 単位系を用いる。

このコンデンサーの電気容量を ${\epsilon }_0,a$ を用いて表せ。

真空中に、中心 O、半径 $a$（$a>0$）の球があり、その内部に全電荷 $Q$（$Q>0$）が一様に分布している。球の外部に電荷はない。真空の誘電率を ${ϵ}_0$ とする。O からの距離を $r$ とすると、電場は O から放射状外向きで、その大きさは
$$E(r)=\{\begin{array}{ll}\frac{Qr}{4\pi {ϵ}_0{a}^3}& (0\leqq r\leqq a)\\ \frac{Q}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}& (r\geqq a)\end{array}$$
である。

無限遠を電位の基準（電位 $0$）とするとき、中心 O の電位 $V_{\mathrm{O}}$ を $Q$, $a$, ${ϵ}_0$ を用いて表せ。

真空中に、中心 O、半径 $a$（$a>0$）の導体球があり、接地されている（導体球の電位は無限遠と同じ $0$ に保たれている）。O からの距離が $2a$ の点 P に点電荷 $q$（$q>0$）を固定した。直線 OP 上で、O に関して P と反対側にあり $\mathrm{OR}=2a$ となる点を R とする。真空の誘電率を ${ϵ}_0$ とし、電位の基準は無限遠にとる。

導体球の表面に誘導された電荷の影響も含めて、点 R の電位 $V$ を $q$, $a$, ${ϵ}_0$ を用いて表せ。