pn 接合の拡散電位

p 側と n 側のフェルミ準位をそろえる考えから、拡散電位 $V_{bi} = \frac{k T}{q} lo g \frac{N _{A} N _{D}}{n _{i}^{2}}$ を求められる

前提

フェルミ準位とキャリア密度（大学物理電子回路・半導体デバイス）

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算数中学高校大学大学院

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フェルミ準位とキャリア密度（大学物理電子回路・半導体デバイス）

説明

p 型半導体と n 型半導体を接合すると、境界付近に電場ができ、外から電圧を加えなくても p 側と n 側の間に電位差が生じます。この電位差を拡散電位（内蔵電位） $V_{bi}$ といい、ドナー密度 $N_{D}$ ・アクセプター密度 $N_{A}$ ・真性キャリア密度 $n_{i}$ ・温度 $T$ から $V_{bi} = \frac{k T}{q} lo g \frac{N _{A} N _{D}}{n _{i}^{2}}$ と求められます。ダイオードが電流を流し始める電圧の目安や、空乏層の幅・接合容量を求めるときの出発点になる量です。

なぜそうしてよいのか

外から電圧を加えず、光も当てず、電流も流れていない状態（熱平衡）では、接合全体でフェルミ準位 $E_{F}$ は一定の高さにそろいます。もし p 側と n 側でフェルミ準位が違えば、電子が高い側から低い側へ正味に移動し続けて電流が流れるはずで、それが止まった状態が熱平衡だからです。実際、接合した直後は n 側の電子が p 側へ、p 側の正孔が n 側へ拡散し、境界付近に n 側では正のイオン化ドナー、p 側では負のイオン化アクセプターが取り残されます。この電荷がつくる電場が拡散を押しとどめ、フェルミ準位がそろったところで落ち着きます。

そろったフェルミ準位を基準に、各側の真性フェルミ準位 $E_{i}$ の位置を求めます。ドナー・アクセプターがすべてイオン化していて $N_{D}, N_{A} ≫ n_{i}$ なら、n 側（接合から十分離れた所）では $n = N_{D}$ なので $n = n_{i} exp \frac{E _{F} - E _{i, n}}{k T}$ より $E_{F} - E_{i, n} = k T lo g \frac{N _{D}}{n _{i}}$ 、p 側では $p = N_{A}$ なので $p = n_{i} exp \frac{E _{i, p} - E _{F}}{k T}$ より $E_{i, p} - E_{F} = k T lo g \frac{N _{A}}{n _{i}}$ です。2 つを足すと、 $E_{F}$ が消えて
$E_{i, p} - E_{i, n} = k T lo g \frac{N _{D}}{n _{i}} + k T lo g \frac{N _{A}}{n _{i}} = k T lo g \frac{N _{A} N _{D}}{n _{i}^{2}}$
となります。つまり電子のエネルギー準位（バンド全体）は p 側のほうがこれだけ高くなっています。

電子の電荷は $- q$ なので、電位 $V$ の場所での電子の位置エネルギーは $- q V$ です。電子のエネルギーが p 側で $E_{i, p} - E_{i, n}$ だけ高いということは、電位が n 側のほうが $V_{bi} = \frac{E _{i, p} - E _{i, n}}{q}$ だけ高いということです。したがって
$V_{bi} = \frac{k T}{q} lo g \frac{N _{A} N _{D}}{n _{i}^{2}}$
が得られます。ドーピングが濃いほどフェルミ準位が真性フェルミ準位から大きくずれるので、拡散電位は大きくなります。

手順

n 側の電子密度を $n = N_{D}$ 、p 側の正孔密度を $p = N_{A}$ とおく（不純物がすべてイオン化し、 $N_{D}, N_{A} ≫ n_{i}$ のとき）
n 側でフェルミ準位が真性フェルミ準位より上にずれる量 $E_{F} - E_{i, n} = k T lo g \frac{N _{D}}{n _{i}}$ と、p 側で下にずれる量 $E_{i, p} - E_{F} = k T lo g \frac{N _{A}}{n _{i}}$ を求める
熱平衡ではフェルミ準位が共通なので、2 つを足して $q V_{bi} = E_{i, p} - E_{i, n} = k T lo g \frac{N _{A} N _{D}}{n _{i}^{2}}$ とする
$\frac{N _{A} N _{D}}{n _{i}^{2}}$ を計算し（密度の単位をそろえる）、 $\frac{k T}{q}$ を掛けて $V_{bi}$ を数値にする

例題

シリコンの pn 接合があり、p 側のアクセプター密度は $N_{A} = 1.0 \times 1 0^{17} c m^{- 3}$ 、n 側のドナー密度は $N_{D} = 1.0 \times 1 0^{15} c m^{- 3}$ 、真性キャリア密度は $n_{i} = 1.0 \times 1 0^{10} c m^{- 3}$ である。不純物はすべてイオン化しており、接合から十分離れた所では n 側の電子密度は $N_{D}$ 、p 側の正孔密度は $N_{A}$ に等しいとする。熱平衡にあり、 $\frac{k T}{q} = 0.026 V$ 、 $lo g 10 = 2.30$ とする。拡散電位 $V_{bi}$ は何 V か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順 1: n 側 $n = N_{D} = 1.0 \times 1 0^{15} c m^{- 3}$ 、p 側 $p = N_{A} = 1.0 \times 1 0^{17} c m^{- 3}$ 。

手順 2: n 側 $E_{F} - E_{i, n} = k T lo g \frac{1 0 ^{15}}{1 0 ^{10}} = k T lo g 1 0^{5}$ 、p 側 $E_{i, p} - E_{F} = k T lo g \frac{1 0 ^{17}}{1 0 ^{10}} = k T lo g 1 0^{7}$ 。

手順 3: 熱平衡でフェルミ準位が共通なので、 $q V_{bi} = E_{i, p} - E_{i, n} = k T (lo g 1 0^{5} + lo g 1 0^{7}) = k T lo g 1 0^{12}$ 。これは $\frac{N _{A} N _{D}}{n _{i}^{2}} = \frac{1 0 ^{17} \times 1 0 ^{15}}{( 1 0 ^{10} ) ^{2}} = 1 0^{12}$ と一致する。

手順 4: $V_{bi} = \frac{k T}{q} lo g 1 0^{12} = 0.026 \times 12 \times lo g 10 = 0.026 \times 12 \times 2.30 = 0.7176 V$ 。有効数字 2 桁で $V_{bi} = 0.72 V$ 。

答え: $0.72$

よくある誤り

分母の $n_{i}^{2}$ を $n_{i}$ としてしまい、 $V_{bi} = \frac{k T}{q} lo g \frac{N _{A} N _{D}}{n _{i}}$ とする誤り。n 側と p 側でそれぞれ $\frac{N _{D}}{n _{i}}$ 、 $\frac{N _{A}}{n _{i}}$ が出てくるので、正しくは $lo g \frac{N _{D}}{n _{i}} + lo g \frac{N _{A}}{n _{i}} = lo g \frac{N _{A} N _{D}}{n _{i}^{2}}$ 。
常用対数で計算してしまう誤り。例えば $\frac{k T}{q} lo g 1 0^{12}$ を $0.026 \times 12 = 0.31 V$ とする。ここでの $lo g$ は自然対数なので、正しくは $0.026 \times 12 \times lo g 10 \approx 0.72 V$ 。
フェルミ準位のずれを片側だけしか数えず、例えば $V_{bi} = \frac{k T}{q} lo g \frac{N _{D}}{n _{i}}$ としてしまう誤り。p 側のフェルミ準位も真性フェルミ準位から下にずれているので、正しくは両側のずれを足して $V_{bi} = \frac{k T}{q} (lo g \frac{N _{D}}{n _{i}} + lo g \frac{N _{A}}{n _{i}})$ 。
拡散電位が電池のように外部回路に電流を流せると考え、pn 接合の両端に電圧計をつなぐと $V_{bi}$ が測れるとしてしまう誤り。熱平衡ではフェルミ準位が端から端まで一定なので、金属電極との接触部にも電位差が生じて打ち消し合い、端子間の電圧は $0$ である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ゲルマニウムでできた階段形の pn 接合がある（図）。p 形領域のアクセプタ濃度は $N_{A} = 4.0 \times 1 0^{16} c m^{- 3}$ 、n 形領域のドナー濃度は $N_{D} = 1.0 \times 1 0^{16} c m^{- 3}$ で、どちらも一様である。この温度でのゲルマニウムの真性キャリア密度は $n_{i} = 2.0 \times 1 0^{13} c m^{- 3}$ 、熱電圧は $\frac{k T}{q} = 0.0259 V$ とする。不純物はすべてイオン化していて、接合から十分離れた p 側・n 側の中性領域では、多数キャリア密度はそれぞれ $N_{A}$ , $N_{D}$ に等しいとする。外部から電圧は加えない。この pn 接合の拡散電位 $V_{bi}$ は何 V か。 $lo g 10 = 2.303$ として、有効数字 3 桁で求めよ。
p 形 $N_{A} = 4.0 \times 1 0^{16} c m^{- 3}$ n 形 $N_{D} = 1.0 \times 1 0^{16} c m^{- 3}$
ゲルマニウムの階段形 pn 接合（模式図）

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

空乏層の幅と接合容量（大学物理電子回路・半導体デバイス）