電子回路・半導体デバイスの問題

誘電率 $\epsilon$ の半導体でできた階段形の pn 接合がある（図）。p 形領域のアクセプタ濃度と n 形領域のドナー濃度はどちらも同じ値 $N$ で、それぞれの領域で一様である。この接合の拡散電位は $V_{bi}$ で、外部から電圧は加えない。電気素量を $q$ とする。空乏近似（空乏層の中では自由キャリアがなく、イオン化した不純物の電荷だけがあり、空乏層の外では電荷が $0$ である）が成り立つとき、空乏層の幅 $W$（p 側と n 側に広がった空乏層の幅の合計）を $\epsilon$, $V_{bi}$, $q$, $N$ を用いて表せ。

温度 $300\mathrm{K}$ のシリコンで、アクセプタ濃度 $N_A=1.0\times 10^{18}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ の p 形領域と、ドナー濃度 $N_D=1.0\times 10^{16}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ の n 形領域が接した階段形の pn 接合がある。外部から電圧を加えない熱平衡状態での空乏層の幅（p 側と n 側の空乏層の幅の和）$W$ は何 $\mu \mathrm{m}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

ただし、不純物はすべてイオン化しており、空乏層近似（空乏層内にはキャリアがなく、外では電荷が中性）が成り立つとする。シリコンの真性キャリア密度を $n_i=1.0\times 10^{10}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$、比誘電率を $11.7$、真空の誘電率を ${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-14}F/cm$、電気素量を $q=1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$、熱電圧を $kT/q=0.0259\mathrm{V}$ とする。

図のように、アクセプタ濃度 $N_A=1.0\times 10^{17}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ の p 形領域とドナー濃度 $N_D=1.0\times 10^{15}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ の n 形領域からなるシリコンの階段型 pn 接合がある。外部から電圧を加えていない熱平衡状態での空乏層の幅 $W$ は何 $\mu \mathrm{m}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

ただし、室温（300 K 付近）での熱電圧を $kT/q=0.026\mathrm{V}$、シリコンの真性キャリア密度を $n_i=1.0\times 10^{10}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$、シリコンの比誘電率を $11.7$、真空の誘電率を ${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-12}F/m$、電気素量を $q=1.60\times 10^{-19}\mathrm{C}$ とする。不純物はすべてイオン化しており、空乏層の中には自由キャリアがなく（空乏近似）、空乏層の外は電気的に中性であるとする。拡散電位 $V_{bi}$ は $V_{bi}=\frac{kT}{q}\log \frac{N_A{N}_D}{n_i^2}$ で求めるものとする。

温度 $300\mathrm{K}$ のケイ素の結晶に、ドナー（リン）を密度 $N_D=5.0\times 10^{16}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$、アクセプター（ホウ素）を密度 $N_A=3.0\times 10^{16}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ だけ添加した。この温度でのケイ素の真性キャリア密度を $n_i=1.0\times 10^{10}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ とし、ドナーとアクセプターはすべてイオン化しているものとする。電子密度 $n$ と正孔密度 $p$ は、質量作用の法則 $np=n_i^2$ と電気的中性条件 $n+N_A=p+N_D$ を満たす。

この半導体の正孔密度 $p$ は何 $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

温度 $300\mathrm{K}$ のシリコン結晶に、ドナーを濃度 $N_D=3.0\times 10^{16}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$、アクセプタを濃度 $N_A=1.0\times 10^{16}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ で一様に添加した（補償された半導体）。この温度でシリコンの真性キャリア密度は $n_i=1.0\times 10^{10}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$、$kT=0.0259\mathrm{eV}$ とする（$k$ はボルツマン定数）。ドナーとアクセプタはすべてイオン化しており、半導体は非縮退で、電子密度 $n$ は真性フェルミ準位 $E_i$ とフェルミ準位 $E_F$ を用いて $n=n_i\exp \left(\frac{E_F-E_i}{kT}\right)$ と表せるものとする。

熱平衡状態でのフェルミ準位と真性フェルミ準位の差 $E_F-E_i$ は何 $\mathrm{eV}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。