電子回路・半導体デバイスの問題

ある温度 $T$ に保ったシリコン結晶について考える。この温度で、不純物を添加していない（真性の）試料の導電率を測ると ${\sigma }_i=1.76S/m$ であった。

次に、同じ温度で、ドナーを濃度 $N_D=5.0\times 10^{20}{\mathrm{m}}^{-3}$、アクセプタを濃度 $N_A=2.0\times 10^{20}{\mathrm{m}}^{-3}$ で一様に添加した（補償された）試料を考える。

ただし、次のように仮定する。
- 真性の試料での電子と正孔の移動度は ${\mu }_n=0.040{\mathrm{m}}^2/(\mathrm{V}\cdot \mathrm{s})$、${\mu }_p=0.015{\mathrm{m}}^2/(\mathrm{V}\cdot \mathrm{s})$ とする
- 電気素量は $e=1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$ とする
- ドナーとアクセプタはすべてイオン化している
- 半導体は非縮退で、電子密度 $n$ と正孔密度 $p$ は、真性フェルミ準位 $E_i$ と真性キャリア密度 $n_i$ を用いて $n=n_i\exp \left(\frac{E_F-E_i}{k_{B}T}\right)$、$p=n_i\exp \left(-\frac{E_F-E_i}{k_{B}T}\right)$ と表せる（$E_F$ はフェルミ準位、$k_B$ はボルツマン定数）

添加した試料の熱平衡状態でのフェルミ準位と真性フェルミ準位の差 $E_F-E_i$ は $k_{B}T$ の何倍か。正確な値で求めよ。

温度 $300\mathrm{K}$ のシリコン結晶に、ドナーを濃度 $N_D=5.0\times 10^{16}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ で一様に添加した。その後、同じ結晶にアクセプタを（濃度は不明だが $N_D$ より小さく）一様に追加で添加したところ、導電率が $\sigma =3.2S/cm$ になった。アクセプタ添加後の電子の移動度は ${\mu }_n=1.0\times 10^3\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2/(\mathrm{V}\cdot \mathrm{s})$ とする。

ドナーとアクセプタはすべてイオン化しており、結晶は電気的に中性で、正孔の密度は電子の密度に比べて十分小さく導電率への寄与は無視できるものとする。また、キャリアは非縮退で、電子密度は $n=n_i\exp \left(\frac{E_F-E_i}{kT}\right)$（$n_i$ は真性キャリア密度、$E_i$ は真性フェルミ準位）で表されるとし、アクセプタの添加の前後で $n_i$ と $E_i$ は変わらないとする。電気素量は $q=1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$、$kT=0.0259\mathrm{eV}$ とする。

アクセプタの添加によって、フェルミ準位 $E_F$ は何 $\mathrm{eV}$ 下がったか。有効数字 3 桁で求めよ。

温度 $300\mathrm{K}$ のケイ素の結晶に、ドナー（リン）を密度 $N_D=5.0\times 10^{16}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$、アクセプター（ホウ素）を密度 $N_A=3.0\times 10^{16}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ だけ添加した。この温度でのケイ素の真性キャリア密度を $n_i=1.0\times 10^{10}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ とし、ドナーとアクセプターはすべてイオン化しているものとする。電子密度 $n$ と正孔密度 $p$ は、質量作用の法則 $np=n_i^2$ と電気的中性条件 $n+N_A=p+N_D$ を満たす。

この半導体の正孔密度 $p$ は何 $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

室温 $300\mathrm{K}$ のシリコン結晶にドナーだけを濃度 $N_D=5.0\times 10^{15}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ で一様に添加した。これを長さ $L=2.0\mathrm{mm}$、幅 $0.50\mathrm{mm}$、厚さ $0.10\mathrm{mm}$ の直方体に切り出し、図のように長さ方向の両端面全体に電極（抵抗は無視できる）を付けて、長さ方向に電流を流す。ドナーはすべてイオン化しているものとし、この温度でシリコンの真性キャリア密度を $n_i=1.0\times 10^{10}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$、電子の移動度を ${\mu }_n=1250\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2/(\mathrm{V}\cdot \mathrm{s})$、正孔の移動度を ${\mu }_p=450\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2/(\mathrm{V}\cdot \mathrm{s})$、電気素量を $e=1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$ とする。熱平衡状態にあり、電流は試料の断面を一様に流れるものとする。この試料の両電極間の電気抵抗は何 $\Omega$ か。有効数字 2 桁で答えよ。

温度 $300\mathrm{K}$ のシリコンで、アクセプタ濃度 $N_A=1.0\times 10^{18}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ の p 形領域と、ドナー濃度 $N_D=1.0\times 10^{16}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ の n 形領域が接した階段形の pn 接合がある。外部から電圧を加えない熱平衡状態での空乏層の幅（p 側と n 側の空乏層の幅の和）$W$ は何 $\mu \mathrm{m}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

ただし、不純物はすべてイオン化しており、空乏層近似（空乏層内にはキャリアがなく、外では電荷が中性）が成り立つとする。シリコンの真性キャリア密度を $n_i=1.0\times 10^{10}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$、比誘電率を $11.7$、真空の誘電率を ${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-14}F/cm$、電気素量を $q=1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$、熱電圧を $kT/q=0.0259\mathrm{V}$ とする。