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電子回路・半導体デバイスの問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理電子回路・半導体デバイス

ある温度 $T$ に保ったシリコン結晶について考える。この温度で、不純物を添加していない（真性の）試料の導電率を測ると $σ_{i} = 1.76 S/m$ であった。

次に、同じ温度で、ドナーを濃度 $N_{D} = 5.0 \times 1 0^{20} m^{- 3}$ 、アクセプタを濃度 $N_{A} = 2.0 \times 1 0^{20} m^{- 3}$ で一様に添加した（補償された）試料を考える。

ただし、次のように仮定する。
- 真性の試料での電子と正孔の移動度は $μ_{n} = 0.040 m^{2} / (V \cdot s)$ 、 $μ_{p} = 0.015 m^{2} / (V \cdot s)$ とする
- 電気素量は $e = 1.6 \times 1 0^{- 19} C$ とする
- ドナーとアクセプタはすべてイオン化している
- 半導体は非縮退で、電子密度 $n$ と正孔密度 $p$ は、真性フェルミ準位 $E_{i}$ と真性キャリア密度 $n_{i}$ を用いて $n = n_{i} exp (\frac{E _{F} - E _{i}}{k _{B} T})$ 、 $p = n_{i} exp (- \frac{E _{F} - E _{i}}{k _{B} T})$ と表せる（ $E_{F}$ はフェルミ準位、 $k_{B}$ はボルツマン定数）

添加した試料の熱平衡状態でのフェルミ準位と真性フェルミ準位の差 $E_{F} - E_{i}$ は $k_{B} T$ の何倍か。正確な値で求めよ。

この問題で使うもの

移動度と導電率（説明と入口の問題）
半導体のキャリア密度（説明と入口の問題）
フェルミ準位とキャリア密度（説明と入口の問題）

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算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず真性の試料の導電率から $n_{i}$ を求める。次に、添加した試料について電荷中性条件と質量作用の法則を連立して $n$ を求め、 $n$ と $E_{F} - E_{i}$ の関係式を使う。

ヒント 2

$σ_{i} = e n_{i} (μ_{n} + μ_{p})$ 、 $n p = n_{i}^{2}$ 、 $n - p = N_{D} - N_{A}$ 。 $N_{D} - N_{A}$ は $n_{i}$ と同じ程度なので $n \approx N_{D} - N_{A}$ とはできず、2 次方程式を解く。

ヒント 3

$n_{i} = 2.0 \times 1 0^{20} m^{- 3}$ で、 $N_{D} - N_{A} = 1.5 n_{i}$ 。 $n^{2} - (N_{D} - N_{A}) n - n_{i}^{2} = 0$ を $n > 0$ で解く。

答えと解説

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lo g 2

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解説を読む

真性キャリア密度 真性の試料では $n = p = n_{i}$ なので、導電率は
$σ_{i} = e n_{i} (μ_{n} + μ_{p})$
よって
$n_{i} = \frac{σ _{i}}{e ( μ _{n} + μ _{p} )} = \frac{1.76}{1.6 \times 1 0 ^{- 19} \times ( 0.040 + 0.015 )} m^{- 3} = \frac{1.76}{8.8 \times 1 0 ^{- 21}} m^{- 3} = 2.0 \times 1 0^{20} m^{- 3}$
$n_{i}$ は温度で決まる量なので、同じ温度の添加した試料でも $n_{i}$ は同じ値である。

添加した試料のキャリア密度 非縮退なので、与えられた式から質量作用の法則
$n p = n_{i}^{2}$
が成り立つ。また、不純物がすべてイオン化しているので、電荷中性条件は
$p + N_{D} = n + N_{A} ⟹ n - p = N_{D} - N_{A} = 3.0 \times 1 0^{20} m^{- 3}$
ここで $N_{D} - N_{A} = 1.5 n_{i}$ と $n_{i}$ と同じ程度なので、 $n \approx N_{D} - N_{A}$ と近似することはできず、2 つの式を連立して解く必要がある。 $p = n_{i}^{2} / n$ を代入すると
$n - \frac{n _{i}^{2}}{n} = N_{D} - N_{A} ⟹ n^{2} - (N_{D} - N_{A}) n - n_{i}^{2} = 0$
$n > 0$ の解は
$n = \frac{N _{D} - N _{A}}{2} + (\frac{N _{D} - N _{A}}{2})^{2} + n_{i}^{2}$
$N_{D} - N_{A} = \frac{3}{2} n_{i}$ を代入すると
$n = \frac{3}{4} n_{i} + \frac{9}{16} n_{i}^{2} + n_{i}^{2} = \frac{3}{4} n_{i} + \frac{5}{4} n_{i} = 2 n_{i} = 4.0 \times 1 0^{20} m^{- 3}$
（このとき $p = n_{i}^{2} / n = n_{i} /2 = 1.0 \times 1 0^{20} m^{- 3}$ で、 $n - p = 3.0 \times 1 0^{20} m^{- 3}$ を満たす。）

フェルミ準位 $n = n_{i} exp (\frac{E _{F} - E _{i}}{k _{B} T})$ より
$\frac{E _{F} - E _{i}}{k _{B} T} = lo g \frac{n}{n _{i}} = lo g 2$
よって $E_{F} - E_{i}$ は $k_{B} T$ の $lo g 2$ 倍（フェルミ準位は真性フェルミ準位より $k_{B} T lo g 2$ だけ上）である。

別解

真性試料では $σ_{i} = e n_{i} (μ_{n} + μ_{p})$ なので、 $n_{i} = \frac{1.76}{1.6 \times 1 0 ^{- 19} \times 0.055} = \frac{1.76}{8.8 \times 1 0 ^{- 21}} = 2.0 \times 1 0^{20} m^{- 3}$ 。
添加試料では電荷中性より $n + N_{A} = p + N_{D}$ 、すなわち $n - p = N_{D} - N_{A} = 3.0 \times 1 0^{20}$ 。また質量作用の法則 $n p = n_{i}^{2} = 4.0 \times 1 0^{40}$ 。
$p = n - 3.0 \times 1 0^{20}$ を代入して $n^{2} - 3.0 \times 1 0^{20} n - 4.0 \times 1 0^{40} = 0$ 。 $n = \frac{3.0 \times 1 0 ^{20} + 9.0 \times 1 0 ^{40} + 16.0 \times 1 0 ^{40}}{2} = \frac{3.0 + 5.0}{2} \times 1 0^{20} = 4.0 \times 1 0^{20}$ 。 $p = 1.0 \times 1 0^{20}$ 。
$n = n_{i} exp (\frac{E _{F} - E _{i}}{k _{B} T})$ より $\frac{E _{F} - E _{i}}{k _{B} T} = ln \frac{n}{n _{i}} = ln 2$ 。
検算: $p = n_{i} e^{- l n 2} = 1.0 \times 1 0^{20}$ で $n - p = 3.0 \times 1 0^{20}$ となり一致。

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