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電子回路・半導体デバイスの問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理電子回路・半導体デバイス

図のように、シリコンの階段形 pn 接合に、n 側が p 側より高電位になる向きに逆方向電圧 $V_{R}$ を加える。p 側のアクセプタ濃度は $N_{A} = 1.0 \times 1 0^{17} c m^{- 3}$ 、n 側のドナー濃度は $N_{D} = 1.0 \times 1 0^{16} c m^{- 3}$ で、それぞれ一様である。温度は $300 K$ で、 $k T / q = 0.0259 V$ 、真性キャリア密度 $n_{i} = 1.0 \times 1 0^{10} c m^{- 3}$ 、電気素量 $q = 1.6 \times 1 0^{- 19} C$ 、シリコンの誘電率 $ε_{s} = 11.7 ε_{0}$ 、真空の誘電率 $ε_{0} = 8.85 \times 1 0^{- 14} F/cm$ とする。

不純物はすべてイオン化しており、空乏層近似（空乏層の中には可動キャリアがなく、空乏層の外は電気的に中性）が成り立つとする。また、加えた電圧はすべて空乏層にかかり、接合は 1 次元とみなす。

接合内の電場の大きさの最大値が $E_{c} = 4.0 \times 1 0^{5} V/cm$ に達するときの逆方向電圧 $V_{R}$ は何 $V$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

p

（

N_{A}

）

n

（

N_{D}

）

V_{R}

この問題で使うもの

pn 接合の拡散電位（説明と入口の問題）
空乏層の幅と接合容量（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（117 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

空乏層の電荷分布からポアソン方程式で電場分布を求め、最大電場と空乏層にかかる全電圧 $V_{bi} + V_{R}$ の関係を作ります。拡散電位 $V_{bi}$ も必要です。

ヒント 2

電場は接合面で最大で、分布は三角形になります。 $E_{m a x} = q N_{A} x_{p} / ε_{s} = q N_{D} x_{n} / ε_{s}$ 、 $V_{bi} + V_{R} = \frac{1}{2} E_{m a x} (x_{p} + x_{n})$ から $V_{bi} + V_{R} = \frac{ε _{s} E _{m a x}^{2}}{2 q} (\frac{1}{N _{A}} + \frac{1}{N _{D}})$ が得られます。

ヒント 3

$V_{bi} = \frac{k T}{q} lo g \frac{N _{A} N _{D}}{n _{i}^{2}} \approx 0.775 V$ 、 $N_{eff} = N_{A} N_{D} / (N_{A} + N_{D}) \approx 9.09 \times 1 0^{15} c m^{- 3}$ です。あとは $E_{m a x} = E_{c}$ を代入します。

答えと解説

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56.2

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解説を読む

1. 拡散電位

熱平衡では p 側の正孔密度 $p_{p} = N_{A}$ 、n 側の電子密度 $n_{n} = N_{D}$ で、n 側の正孔密度は $p_{n} = n_{i}^{2} / N_{D}$ である。正孔の分布はボルツマン分布に従うので $p_{p} / p_{n} = exp (q V_{bi} / k T)$ となり
$V_{bi} = \frac{k T}{q} lo g \frac{N _{A} N _{D}}{n _{i}^{2}} = 0.0259 \times lo g \frac{1.0 \times 1 0 ^{17} \times 1.0 \times 1 0 ^{16}}{( 1.0 \times 1 0 ^{10} ) ^{2}} = 0.0259 \times lo g (1.0 \times 1 0^{13}) V$
$lo g (1 0^{13}) = 13 \times 2.3026 \approx 29.934, V_{bi} \approx 0.0259 \times 29.934 \approx 0.7753 V$

2. 最大電場と電圧の関係

空乏層近似では、p 側の空乏層（幅 $x_{p}$ ）の電荷密度は $- q N_{A}$ 、n 側（幅 $x_{n}$ ）は $+ q N_{D}$ で一定である。1 次元のガウスの法則（ポアソン方程式） $\frac{d E}{d x} = \frac{ρ}{ε _{s}}$ を空乏層の端（ $E = 0$ ）から積分すると、電場は接合面で最大になり
$E_{m a x} = \frac{q N _{A} x _{p}}{ε _{s}} = \frac{q N _{D} x _{n}}{ε _{s}}$
電場の分布は三角形なので、空乏層にかかる電圧は三角形の面積で
$V_{bi} + V_{R} = \frac{1}{2} E_{m a x} (x_{p} + x_{n})$
$x_{p} = ε_{s} E_{m a x} / (q N_{A})$ 、 $x_{n} = ε_{s} E_{m a x} / (q N_{D})$ を代入して
$V_{bi} + V_{R} = \frac{ε _{s} E _{m a x}^{2}}{2 q} (\frac{1}{N _{A}} + \frac{1}{N _{D}}) = \frac{ε _{s} E _{m a x}^{2}}{2 q N _{eff}}, N_{eff} = \frac{N _{A} N _{D}}{N _{A} + N _{D}}$

3. 数値計算
$N_{eff} = \frac{1.0 \times 1 0 ^{17} \times 1.0 \times 1 0 ^{16}}{1.1 \times 1 0 ^{17}} \approx 9.091 \times 1 0^{15} c m^{- 3}$
$ε_{s} = 11.7 \times 8.85 \times 1 0^{- 14} \approx 1.0355 \times 1 0^{- 12} F/cm$
$\frac{ε _{s} E _{c}^{2}}{2 q N _{eff}} = \frac{1.0355 \times 1 0 ^{- 12} \times ( 4.0 \times 1 0 ^{5} ) ^{2}}{2 \times 1.6 \times 1 0 ^{- 19} \times 9.091 \times 1 0 ^{15}} = \frac{0.16567}{2.9091 \times 1 0 ^{- 3}} \approx 56.95 V$
よって
$V_{R} = 56.95 - V_{bi} \approx 56.95 - 0.775 \approx 56.17 V$
有効数字 3 桁で $V_{R} \approx 56.2 V$ 。

別解

拡散電位: $V_{bi} = \frac{k T}{q} ln \frac{N _{A} N _{D}}{n _{i}^{2}} = 0.0259 ln \frac{1 0 ^{17} \times 1 0 ^{16}}{1 0 ^{20}} = 0.0259 ln 1 0^{13} = 0.0259 \times 29.934 = 0.775 V$ 。\n\n空乏層近似で、p 側・n 側の空乏層幅を $x_{p}, x_{n}$ とすると電荷中性から $N_{A} x_{p} = N_{D} x_{n}$ 。接合面で電場は最大で $E_{ma x} = \frac{q N _{D} x _{n}}{ε _{s}} = \frac{q N _{A} x _{p}}{ε _{s}}$ 。電場の三角形分布を積分した電位差が $V_{bi} + V_{R}$ なので、全幅 $W = x_{p} + x_{n}$ として $V_{bi} + V_{R} = \frac{1}{2} E_{ma x} W$ 。 $x_{n} = \frac{N _{A}}{N _{A} + N _{D}} W$ より $E_{ma x} = \frac{q}{ε _{s}} \frac{N _{A} N _{D}}{N _{A} + N _{D}} W$ 。 $W$ を消去して\n $V_{bi} + V_{R} = \frac{ε _{s} E _{ma x}^{2}}{2 q} \frac{N _{A} + N _{D}}{N _{A} N _{D}} .$ \n\n数値: $ε_{s} = 11.7 \times 8.85 \times 1 0^{- 14} = 1.03545 \times 1 0^{- 12} F/cm$ 、 $\frac{N _{A} N _{D}}{N _{A} + N _{D}} = \frac{1 0 ^{33}}{1.1 \times 1 0 ^{17}} = 9.0909 \times 1 0^{15} cm^{- 3}$ 。 $V_{bi} + V_{R} = \frac{1.03545 \times 1 0 ^{- 12} \times ( 4.0 \times 1 0 ^{5} ) ^{2}}{2 \times 1.6 \times 1 0 ^{- 19} \times 9.0909 \times 1 0 ^{15}} = \frac{0.165672}{2.90909 \times 1 0 ^{- 3}} = 56.95 V$ 。\n\n $V_{R} = 56.95 - 0.775 = 56.17 \approx 56.2 V$ 。\n\n検算: $W = 2 \times 56.95/ (4.0 \times 1 0^{5}) = 2.85 \times 1 0^{- 4}$ cm、 $x_{n} = W \times 10/11 = 2.59 \times 1 0^{- 4}$ cm、 $E_{ma x} = q N_{D} x_{n} / ε_{s} = 1.6 \times 1 0^{- 19} \times 1 0^{16} \times 2.59 \times 1 0^{- 4} /1.03545 \times 1 0^{- 12} = 4.0 \times 1 0^{5}$ V/cm で一致。

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