フェルミ準位とキャリア密度

$n = n_{i} exp \frac{E _{F} - E _{i}}{k T}$ , $p = n_{i} exp \frac{E _{i} - E _{F}}{k T}$ を使って、キャリア密度からフェルミ準位の位置（真性フェルミ準位からのずれ）を求められる

前提

半導体のキャリア密度（大学物理電子回路・半導体デバイス）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）

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算数中学高校大学大学院

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半導体のキャリア密度（大学物理電子回路・半導体デバイス）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）

説明

半導体中の電子がどこまでのエネルギーの状態を占めやすいかを表す目安がフェルミ準位 $E_{F}$ で、真性半導体でのフェルミ準位を真性フェルミ準位 $E_{i}$ と呼びます（ほぼ禁制帯の中央）。この技能では、関係式 $n = n_{i} exp \frac{E _{F} - E _{i}}{k T}$ , $p = n_{i} exp \frac{E _{i} - E _{F}}{k T}$ を使い、電子密度 $n$ や正孔密度 $p$ から $E_{F} - E_{i} = k T lo g \frac{n}{n _{i}}$ のようにフェルミ準位の位置を求められるようになります。n 型・p 型半導体のエネルギーバンド図をかくときや、pn 接合の内蔵電位を求める準備として使います。

なぜそうしてよいのか

フェルミ準位 $E_{F}$ とは、電子がその準位の状態を占める確率がちょうど $\frac{1}{2}$ になるエネルギーのことです。温度 $T$ で、 $E_{F}$ より十分高いエネルギー $E$ （ $E - E_{F} ≫ k T$ 、 $k$ はボルツマン定数）の状態を電子が占める確率は、熱運動の性質から $exp (- \frac{E - E _{F}}{k T})$ でよく近似されます。伝導帯の電子はこのような状態にいるので、電子密度は $n = (温度と材料で決まる定数) \times exp \frac{E _{F} - E _{C}}{k T}$ （ $E_{C}$ は伝導帯の下端）の形をしており、 $E_{F}$ が $k T$ だけ上がるごとに $n$ は $e$ 倍になります。

真性半導体では $E_{F} = E_{i}$ , $n = n_{i}$ なので、同じ式を $E_{F} = E_{i}$ のときと比べて割り算すると、比例定数と $E_{C}$ が消えて $\frac{n}{n _{i}} = exp \frac{E _{F} - E _{i}}{k T}$ が得られます。正孔は「電子が抜けた状態」で、 $E_{F}$ が下がるほど価電子帯に空きが増えるので、同様に $\frac{p}{n _{i}} = exp \frac{E _{i} - E _{F}}{k T}$ です。2 式を掛けると $n p = n_{i}^{2}$ となり、すでに知っている質量作用の法則と矛盾しません。

両辺の自然対数をとると $E_{F} - E_{i} = k T lo g \frac{n}{n _{i}} = - k T lo g \frac{p}{n _{i}}$ です。n 型（ $n > n_{i}$ ）では $E_{F}$ は $E_{i}$ より上、p 型（ $p > n_{i}$ ）では下にずれ、不純物濃度が 10 倍になるごとに $k T lo g 10$ ずつ動きます。この関係は $E_{F}$ がバンドの端から $k T$ の数倍以上離れている（不純物が多すぎない）範囲で成り立ちます。

手順

電気的中性条件と $n p = n_{i}^{2}$ から、多数キャリア密度（n 型なら $n \approx N_{D}$ 、p 型なら $p \approx N_{A}$ ）を求める
電子密度がわかっていれば $E_{F} - E_{i} = k T lo g \frac{n}{n _{i}}$ を使う
正孔密度がわかっていれば $E_{i} - E_{F} = k T lo g \frac{p}{n _{i}}$ を使う
$k T$ を eV 単位で代入して計算し、符号から $E_{F}$ が $E_{i}$ の上（n 型）か下（p 型）かを確かめる
逆に $E_{F} - E_{i}$ が与えられたときは $n = n_{i} exp \frac{E _{F} - E _{i}}{k T}$ , $p = \frac{n _{i}^{2}}{n}$ でキャリア密度を求める

例題

真性キャリア密度 $n_{i} = 1.0 \times 1 0^{10} c m^{- 3}$ のシリコンに、ドナーを $N_{D} = 1.0 \times 1 0^{16} c m^{- 3}$ 添加した。ドナーはすべてイオン化しており、 $N_{D} ≫ n_{i}$ なので $n = N_{D}$ とみなせる。温度は $k T = 0.026 eV$ とし、 $lo g 10 = 2.303$ を用いる。フェルミ準位が真性フェルミ準位より何 eV 高いか、 $E_{F} - E_{i}$ を有効数字 3 桁で求めよ。

例題の解答

手順 1：n 型で $n = N_{D} = 1.0 \times 1 0^{16} c m^{- 3}$ （正孔は $p = \frac{n _{i}^{2}}{n} = 1.0 \times 1 0^{4} c m^{- 3}$ と非常に少ない）。

手順 2：電子密度がわかっているので
$E_{F} - E_{i} = k T lo g \frac{n}{n _{i}} = 0.026 \times lo g \frac{1.0 \times 1 0 ^{16}}{1.0 \times 1 0 ^{10}} = 0.026 \times lo g 1 0^{6}$

手順 4： $lo g 1 0^{6} = 6 \times 2.303 = 13.818$ なので
$E_{F} - E_{i} = 0.026 \times 13.818 \approx 0.359 eV$
正なので $E_{F}$ は $E_{i}$ より上にあり、n 型であることと合っている。（確認：手順 3 の式でも $E_{i} - E_{F} = 0.026 lo g \frac{1 0 ^{4}}{1 0 ^{10}} = - 0.359 eV$ と同じ結果になる。）

答え: $0.359$

よくある誤り

常用対数で計算してしまう誤り。式の $lo g$ は自然対数なので、 $lo g_{10} 1 0^{6} = 6$ を使って $0.026 \times 6 = 0.156 eV$ とするのは誤りで、正しくは $0.026 \times 6 \times 2.303 \approx 0.359 eV$
p 型でも $E_{F} - E_{i} = k T lo g \frac{p}{n _{i}}$ として、フェルミ準位が上にずれるとしてしまう誤り。正孔密度を使うときは符号が逆で、正しくは $E_{F} - E_{i} = - k T lo g \frac{p}{n _{i}}$ （p 型では $E_{F} < E_{i}$ ）
$k T$ を J 単位のまま、または $k$ と $T$ を別々の単位で代入して eV の答えと混同する誤り。 $k T = 0.026 eV$ をそのまま使えば答えは eV になる。J 単位の $k T = 4.1 \times 1 0^{- 21} J$ を使ったなら、最後に $1 eV = 1.6 \times 1 0^{- 19} J$ で換算する
少数キャリア密度を使って $E_{F} - E_{i} = k T lo g \frac{p}{n _{i}}$ を n 型に当てはめる誤り。n 型で $p = 1 0^{4} c m^{- 3}$ を代入すると $- 0.359 eV$ になるが、これは $E_{i} - E_{F}$ の値であり、正しくは $E_{F} - E_{i} = - k T lo g \frac{p}{n _{i}} = + 0.359 eV$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
温度 $300 K$ の $n$ 型ケイ素があり、熱平衡状態での電子密度は $n = 1.0 \times 1 0^{16} c m^{- 3}$ である。この温度でのケイ素の真性キャリア密度を $n_{i} = 1.0 \times 1 0^{10} c m^{- 3}$ とする。
電子密度は、フェルミ準位 $E_{F}$ と真性フェルミ準位 $E_{i}$ を使って
$n = n_{i} exp \frac{E _{F} - E _{i}}{k T}$
と表されるものとする。 $k T = 0.026 eV$ 、 $lo g 10 = 2.3$ として、フェルミ準位が真性フェルミ準位からどれだけ高いか、すなわち $E_{F} - E_{i}$ は何 $eV$ か。有効数字 $2$ 桁で答えよ。
$E_{C}$ （伝導帯の下端） $E_{i}$ （真性フェルミ準位） $E_{V}$ （価電子帯の上端）電子のエネルギー
ケイ素のエネルギーバンド図（ $E_{F}$ の位置は描いていない）

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

pn 接合の拡散電位（大学物理電子回路・半導体デバイス）