電子回路・半導体デバイスの問題

温度 $300\mathrm{K}$ のシリコン結晶に、ドナーを濃度 $N_D=3.0\times 10^{16}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$、アクセプタを濃度 $N_A=1.0\times 10^{16}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ で一様に添加した（補償された半導体）。この温度でシリコンの真性キャリア密度は $n_i=1.0\times 10^{10}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$、$kT=0.0259\mathrm{eV}$ とする（$k$ はボルツマン定数）。ドナーとアクセプタはすべてイオン化しており、半導体は非縮退で、電子密度 $n$ は真性フェルミ準位 $E_i$ とフェルミ準位 $E_F$ を用いて $n=n_i\exp \left(\frac{E_F-E_i}{kT}\right)$ と表せるものとする。

熱平衡状態でのフェルミ準位と真性フェルミ準位の差 $E_F-E_i$ は何 $\mathrm{eV}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

ある温度 $T$ のシリコン結晶にアクセプタだけを濃度 $N_A$ で一様に添加し、その導電率 $\sigma$ をできるだけ小さくしたい。この温度でシリコンの真性キャリア密度は $n_i=1.0\times 10^{10}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$、電子の移動度は ${\mu }_n=1350\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2/(\mathrm{V}\cdot \mathrm{s})$、正孔の移動度は ${\mu }_p=450\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2/(\mathrm{V}\cdot \mathrm{s})$ である。

次を仮定する。
- 半導体は非縮退で、熱平衡では電子密度 $n$ と正孔密度 $p$ の間に質量作用の法則 $np=n_i^2$ が成り立つ
- アクセプタはすべてイオン化している
- 電気的中性条件 $p=n+N_A$ が成り立つ
- 移動度は添加濃度によらず上の値で一定とする
- 導電率は $\sigma =e(n{\mu }_n+p{\mu }_p)$（$e$ は電気素量）で与えられる

$N_A(\ge 0)$ を変えたとき $\sigma$ が最小になる $N_A$ の値は何 $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

ある温度 $T$ に保ったシリコン結晶について考える。この温度で、不純物を添加していない（真性の）試料の導電率を測ると ${\sigma }_i=1.76S/m$ であった。

次に、同じ温度で、ドナーを濃度 $N_D=5.0\times 10^{20}{\mathrm{m}}^{-3}$、アクセプタを濃度 $N_A=2.0\times 10^{20}{\mathrm{m}}^{-3}$ で一様に添加した（補償された）試料を考える。

ただし、次のように仮定する。
- 真性の試料での電子と正孔の移動度は ${\mu }_n=0.040{\mathrm{m}}^2/(\mathrm{V}\cdot \mathrm{s})$、${\mu }_p=0.015{\mathrm{m}}^2/(\mathrm{V}\cdot \mathrm{s})$ とする
- 電気素量は $e=1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$ とする
- ドナーとアクセプタはすべてイオン化している
- 半導体は非縮退で、電子密度 $n$ と正孔密度 $p$ は、真性フェルミ準位 $E_i$ と真性キャリア密度 $n_i$ を用いて $n=n_i\exp \left(\frac{E_F-E_i}{k_{B}T}\right)$、$p=n_i\exp \left(-\frac{E_F-E_i}{k_{B}T}\right)$ と表せる（$E_F$ はフェルミ準位、$k_B$ はボルツマン定数）

添加した試料の熱平衡状態でのフェルミ準位と真性フェルミ準位の差 $E_F-E_i$ は $k_{B}T$ の何倍か。正確な値で求めよ。

温度 $T=300\mathrm{K}$ のシリコン結晶を考える。この温度での電子の移動度は ${\mu }_n=1350\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2/(\mathrm{V}\cdot \mathrm{s})$、正孔の移動度は ${\mu }_p=480\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2/(\mathrm{V}\cdot \mathrm{s})$ で、$k_{B}T=25.9\mathrm{meV}$ とする（$k_B$ はボルツマン定数）。

真性キャリア密度を $n_i$、真性フェルミ準位を $E_i$、フェルミ準位を $E_F$ とする。試料は熱平衡にあり、縮退していないとする。このとき電子密度 $n$ と正孔密度 $p$ は
$$n=n_i\exp \left(\frac{E_F-E_i}{k_{B}T}\right),p=n_i\exp \left(\frac{E_i-E_F}{k_{B}T}\right)$$
で与えられる。添加したアクセプタはすべてイオン化し、添加量はわずかなので移動度は添加量によらず上の値のままとする。

不純物を含まない真性の試料に、アクセプタを少しずつ一様に添加していくと、導電率ははじめ減少し、ある添加量で最小になったあと増加する。導電率が最小になるときの $E_i-E_F$ は何 $\mathrm{meV}$ か。与えられた数値を代入して計算し、四捨五入して有効数字 3 桁の数値で答えよ（対数などを含む式の形のままにしないこと）。

室温 $300\mathrm{K}$ のシリコン結晶にドナーだけを濃度 $N_D=5.0\times 10^{15}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ で一様に添加した。これを長さ $L=2.0\mathrm{mm}$、幅 $0.50\mathrm{mm}$、厚さ $0.10\mathrm{mm}$ の直方体に切り出し、図のように長さ方向の両端面全体に電極（抵抗は無視できる）を付けて、長さ方向に電流を流す。ドナーはすべてイオン化しているものとし、この温度でシリコンの真性キャリア密度を $n_i=1.0\times 10^{10}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$、電子の移動度を ${\mu }_n=1250\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2/(\mathrm{V}\cdot \mathrm{s})$、正孔の移動度を ${\mu }_p=450\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2/(\mathrm{V}\cdot \mathrm{s})$、電気素量を $e=1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$ とする。熱平衡状態にあり、電流は試料の断面を一様に流れるものとする。この試料の両電極間の電気抵抗は何 $\Omega$ か。有効数字 2 桁で答えよ。