移動度と導電率

導電率 $σ = e (n μ_{n} + p μ_{p})$ を計算し、試料の寸法から電気抵抗 $R = \frac{L}{σ S}$ を求められる

前提

半導体のキャリア密度（大学物理電子回路・半導体デバイス）
抵抗率（高校物理電流と回路）

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算数中学高校大学大学院

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抵抗率（高校物理電流と回路）

説明

半導体に電場をかけたときに流れる電流の大きさは、キャリア（電子とホール）の密度と、それぞれが電場からどれだけ速く動かされるか（移動度）で決まります。この技能では、導電率 $σ = e (n μ_{n} + p μ_{p})$ を計算し、その逆数である抵抗率と試料の長さ・断面積から電気抵抗 $R = \frac{L}{σ S}$ を求めます。不純物の量から半導体素子や抵抗体の抵抗値を見積もったり、逆に測った抵抗からキャリア密度を推定したりするときに使います。

なぜそうしてよいのか

結晶中のキャリアは、電場 $E$ を受けて加速されてもすぐに原子の振動や不純物にぶつかって向きを変えるので、平均するとほぼ一定の速さで流されていきます。この平均の速さ（ドリフト速度）は電場の強さに比例し、その比例係数を移動度 $μ$ と定義します： $v = μ E$ 。移動度の単位は $m^{2} / (V \cdot s)$ で、電子は $μ_{n}$ 、ホールは $μ_{p}$ と書きます。

断面積 $S$ の面を 1 秒間に通過する電子は、長さ $v_{n}$ 、断面積 $S$ の柱の中にある $n v_{n} S$ 個です。電子 1 個の電荷の大きさは $e$ なので、電子による電流密度（単位面積あたりの電流）の大きさは $e n v_{n} = e n μ_{n} E$ です。電子は電場と逆向きに動きますが電荷が負なので、電流の向きは電場と同じです。ホールは正の電荷をもち電場の向きに動くので、これも電場の向きの電流 $e p μ_{p} E$ を運びます。2 つは同じ向きなので足し合わされ、 $J = e (n μ_{n} + p μ_{p}) E = σ E, σ = e (n μ_{n} + p μ_{p})$ となります。この $σ$ が導電率です。

長さ $L$ 、断面積 $S$ の試料の両端に電圧 $V$ をかけると、内部の電場は $E = V / L$ 、電流は $I = J S = σ S V / L$ です。よって $R = \frac{V}{I} = \frac{L}{σ S}$ 。これは抵抗率の式 $R = ρ \frac{L}{S}$ で $ρ = \frac{1}{σ}$ としたものと同じです。不純物を添加した半導体ではふつう一方のキャリアの密度が他方より桁違いに大きいので、少ない方の項はほとんど効きません。

手順

電子密度 $n$ と正孔密度 $p$ を求める（与えられていなければ、質量作用の法則 $n p = n_{i}^{2}$ と中性条件から計算する）
単位を SI（m, $m^{- 3}$ , $m^{2} / (V \cdot s)$ ）にそろえる。 $c m^{- 3}$ なら $1 0^{6}$ 倍、 $c m^{2} / (V \cdot s)$ なら $1 0^{- 4}$ 倍する
導電率 $σ = e (n μ_{n} + p μ_{p})$ を計算する。片方の項が桁違いに小さいときは無視してよいかを数値で確かめる
抵抗を $R = \frac{L}{σ S}$ で求める（抵抗率が必要なら $ρ = \frac{1}{σ}$ ）

例題

長さ $L = 1.0 cm$ 、断面積 $S = 1.0 m m^{2}$ の n 型半導体の棒がある。電子密度は $n = 1.0 \times 1 0^{22} m^{- 3}$ 、正孔密度は $p = 1.0 \times 1 0^{10} m^{- 3}$ 、電子の移動度は $μ_{n} = 0.125 m^{2} / (V \cdot s)$ 、正孔の移動度は $μ_{p} = 0.045 m^{2} / (V \cdot s)$ 、電気素量は $e = 1.6 \times 1 0^{- 19} C$ とする。棒の両端の間の電気抵抗 $R$ は何 $Ω$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $n = 1.0 \times 1 0^{22} m^{- 3}$ 、 $p = 1.0 \times 1 0^{10} m^{- 3}$ が与えられています。

【手順 2】 $L = 1.0 \times 1 0^{- 2} m$ 、 $S = 1.0 m m^{2} = 1.0 \times 1 0^{- 6} m^{2}$ です。

【手順 3】 $n μ_{n} = 1.0 \times 1 0^{22} \times 0.125 = 1.25 \times 1 0^{21}$ 、 $p μ_{p} = 1.0 \times 1 0^{10} \times 0.045 = 4.5 \times 1 0^{8}$ で、正孔の項は電子の項の $1 0^{- 12}$ 程度なので無視できます。 $σ \approx e n μ_{n} = 1.6 \times 1 0^{- 19} \times 1.25 \times 1 0^{21} = 2.0 \times 1 0^{2} S/m$ （ $S = Ω^{- 1}$ ）です。

【手順 4】 $R = \frac{L}{σ S} = \frac{1.0 \times 1 0 ^{- 2}}{2.0 \times 1 0 ^{2} \times 1.0 \times 1 0 ^{- 6}} = 50 Ω$ です。

答え: $50$

よくある誤り

電子は電場と逆向きに動くので、電子の寄与を引いて $σ = e (p μ_{p} - n μ_{n})$ としてしまう誤り。電子は負電荷なので逆向きに動いても電流は電場の向きになり、正しくは $σ = e (n μ_{n} + p μ_{p})$ と足し合わせる
単位をそろえずに $c m^{- 3}$ の密度と $m^{2} / (V \cdot s)$ の移動度を掛けてしまう誤り。たとえば $n = 1 0^{16} c m^{- 3}$ は $1 0^{22} m^{- 3}$ 、 $μ_{n} = 1250 c m^{2} / (V \cdot s)$ は $0.125 m^{2} / (V \cdot s)$ と、正しくは SI にそろえてから計算する
導電率と抵抗率を取り違えて $R = \frac{σ L}{S}$ としてしまう誤り。 $σ$ が大きいほど電流が流れやすいので、正しくは $R = \frac{L}{σ S}$ （抵抗率は $ρ = \frac{1}{σ}$ ）
断面積を $m m^{2}$ から $m^{2}$ に直すときに $1 m m^{2} = 1 0^{- 3} m^{2}$ としてしまう誤り。長さが $1 0^{- 3}$ 倍なので面積は 2 乗で、正しくは $1 m m^{2} = 1 0^{- 6} m^{2}$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ホウ素を一様に添加した p 形シリコンの直方体の試料がある（図）。試料の長さは $L = 4.0 mm$ 、断面は 1 辺 $0.50 mm$ の正方形である。この温度で、試料中の正孔密度は $p = 2.0 \times 1 0^{22} m^{- 3}$ 、電子密度は $n = 5.0 \times 1 0^{9} m^{- 3}$ 、正孔の移動度は $μ_{p} = 0.050 m^{2} / (V \cdot s)$ 、電子の移動度は $μ_{n} = 0.14 m^{2} / (V \cdot s)$ である。電気素量を $e = 1.6 \times 1 0^{- 19} C$ とする。試料の両端面（ $0.50 mm \times 0.50 mm$ の面）に全面電極をつけたとき、両端の間の電気抵抗 $R$ は何 $Ω$ か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、電極と試料の接触抵抗は無視し、電流は試料の長さの方向に一様に流れるものとする。
$4.0 mm$ $0.50 mm$
色をつけた両端面に電極をつける

移動度と導電率

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題