電子回路・半導体デバイスの問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理電子回路・半導体デバイス

ある温度 $T$ のシリコン結晶にアクセプタだけを濃度 $N_{A}$ で一様に添加し、その導電率 $σ$ をできるだけ小さくしたい。この温度でシリコンの真性キャリア密度は $n_{i} = 1.0 \times 1 0^{10} c m^{- 3}$ 、電子の移動度は $μ_{n} = 1350 c m^{2} / (V \cdot s)$ 、正孔の移動度は $μ_{p} = 450 c m^{2} / (V \cdot s)$ である。

次を仮定する。
- 半導体は非縮退で、熱平衡では電子密度 $n$ と正孔密度 $p$ の間に質量作用の法則 $n p = n_{i}^{2}$ が成り立つ
- アクセプタはすべてイオン化している
- 電気的中性条件 $p = n + N_{A}$ が成り立つ
- 移動度は添加濃度によらず上の値で一定とする
- 導電率は $σ = e (n μ_{n} + p μ_{p})$ （ $e$ は電気素量）で与えられる

$N_{A} (\geq 0)$ を変えたとき $σ$ が最小になる $N_{A}$ の値は何 $c m^{- 3}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

この問題で使うもの

半導体のキャリア密度（説明と入口の問題）
移動度と導電率（説明と入口の問題）
多項式の微分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（39 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$n p = n_{i}^{2}$ を使って、 $σ$ を電子密度 $n$ だけの関数として表そう。

ヒント 2

$σ \propto n μ_{n} + \frac{n _{i}^{2}}{n} μ_{p}$ は、2 つの項が等しくなるときに最小になる。

ヒント 3

最小になるのは $n = n_{i} / 3$ 、 $p = 3 n_{i}$ のとき。あとは中性条件 $p = n + N_{A}$ を使う。

答えと解説

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1.15 \times 1 0^{10}

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解説を読む

導電率を $n$ の関数にする. 質量作用の法則 $p = n_{i}^{2} / n$ より
$σ (n) = e (n μ_{n} + \frac{n _{i}^{2}}{n} μ_{p}) (n > 0) .$
中性条件 $N_{A} = p - n = \frac{n _{i}^{2}}{n} - n$ は $n$ について単調減少で、 $N_{A} \geq 0$ は $0 < n \leq n_{i}$ に対応する（ $N_{A} = 0$ が真性の場合 $n = n_{i}$ ）。

最小値をとる $n$ . 相加平均・相乗平均の関係（または微分 $σ^{'} (n) = e (μ_{n} - n_{i}^{2} μ_{p} / n^{2}) = 0$ ）より、 $σ$ は
$n μ_{n} = \frac{n _{i}^{2}}{n} μ_{p} ⟺ n = n_{i} \frac{μ _{p}}{μ _{n}}$
で最小になる。 $μ_{p} / μ_{n} = 450/1350 = 1/3$ なので
$n = \frac{n _{i}}{3}, p = \frac{n _{i}^{2}}{n} = 3 n_{i} .$
これは $0 < n < n_{i}$ を満たすので、アクセプタの添加で実現できる。

必要なアクセプタ濃度. 中性条件から
$N_{A} = p - n = (3 - \frac{1}{3}) n_{i} = \frac{2}{3} n_{i} = \frac{2}{1.732} \times 1.0 \times 1 0^{10} \approx 1.15 \times 1 0^{10} c m^{- 3} .$

（参考: このとき $σ_{m i n} = 2 e n_{i} μ_{n} μ_{p}$ で、真性のときの導電率 $e n_{i} (μ_{n} + μ_{p})$ の $3 /2$ 倍になる。電子の移動度が大きいので、電子を少し減らして正孔を増やす p 形側で導電率が最小になる。）

別解

質量作用の法則と中性条件より $n = n_{i}^{2} / p$ 、 $N_{A} = p - n$ 。 $σ / e = n μ_{n} + p μ_{p} = μ_{n} n_{i}^{2} / p + μ_{p} p$ であり、 $p$ は $N_{A}$ とともに単調に増える（ $p = \frac{N _{A} + N _{A}^{2} + 4 n _{i}^{2}}{2}$ 、 $N_{A} = 0$ で $p = n_{i}$ ）。 $p \geq n_{i}$ の範囲で $\frac{d}{d p} (σ / e) = - μ_{n} n_{i}^{2} / p^{2} + μ_{p} = 0$ より $p^{*} = n_{i} μ_{n} / μ_{p} = 3 n_{i}$ 。 $3 > 1$ なので $p^{*}$ は許される範囲内にあり、二階微分 $2 μ_{n} n_{i}^{2} / p^{3} > 0$ より最小。このとき $n^{*} = n_{i} / 3$ 、 $N_{A} = p^{*} - n^{*} = n_{i} (3 - \frac{1}{3}) = \frac{2}{3} n_{i} = 1.1547 \times 1 0^{10} c m^{- 3}$ 。有効数字 3 桁で $1.15 \times 1 0^{10}$ 。検算: $N_{A} = 0$ では $σ / e = n_{i} (μ_{n} + μ_{p}) = 1800 n_{i}$ 、最小点では $σ / e = μ_{n} n_{i} / 3 + μ_{p} 3 n_{i} = (779.4 + 779.4) n_{i} = 1558.8 n_{i}$ で確かに小さい。

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