電子回路・半導体デバイスの問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理電子回路・半導体デバイス

温度 $T = 300 K$ のシリコン結晶を考える。この温度での電子の移動度は $μ_{n} = 1350 c m^{2} / (V \cdot s)$ 、正孔の移動度は $μ_{p} = 480 c m^{2} / (V \cdot s)$ で、 $k_{B} T = 25.9 meV$ とする（ $k_{B}$ はボルツマン定数）。

真性キャリア密度を $n_{i}$ 、真性フェルミ準位を $E_{i}$ 、フェルミ準位を $E_{F}$ とする。試料は熱平衡にあり、縮退していないとする。このとき電子密度 $n$ と正孔密度 $p$ は
$n = n_{i} exp (\frac{E _{F} - E _{i}}{k _{B} T}), p = n_{i} exp (\frac{E _{i} - E _{F}}{k _{B} T})$
で与えられる。添加したアクセプタはすべてイオン化し、添加量はわずかなので移動度は添加量によらず上の値のままとする。

不純物を含まない真性の試料に、アクセプタを少しずつ一様に添加していくと、導電率ははじめ減少し、ある添加量で最小になったあと増加する。導電率が最小になるときの $E_{i} - E_{F}$ は何 $meV$ か。与えられた数値を代入して計算し、四捨五入して有効数字 3 桁の数値で答えよ（対数などを含む式の形のままにしないこと）。

この問題で使うもの

移動度と導電率（説明と入口の問題）
フェルミ準位とキャリア密度（説明と入口の問題）
半導体のキャリア密度（説明と入口の問題）

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算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

導電率 $σ = e (μ_{n} n + μ_{p} p)$ を 1 つの変数だけで表し、その最小値を求めることを考えよう。

ヒント 2

与えられた 2 式を掛けると $n p = n_{i}^{2}$ になる。これを使うと $σ = e (μ_{n} n + μ_{p} n_{i}^{2} / n)$ と書ける。

ヒント 3

$d σ / d n = 0$ から $n = n_{i} μ_{p} / μ_{n}$ となる。これを $n = n_{i} exp {(E_{F} - E_{i}) / k_{B} T}$ と比べ、最後に数値を代入して有効数字 3 桁に丸めよう。

答えと解説

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13.4

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解説を読む

導電率を電子密度で表す

導電率は、電気素量を $e$ として
$σ = e (μ_{n} n + μ_{p} p)$
である。熱平衡で縮退していないので、与えられた 2 式を掛けると質量作用の法則 $n p = n_{i}^{2}$ が成り立つ。これより $p = n_{i}^{2} / n$ となり、
$σ (n) = e (μ_{n} n + \frac{μ _{p} n _{i}^{2}}{n})$
と表せる。アクセプタを添加すると $p$ が増え、 $n$ は $n_{i}$ から減っていく。

最小条件

$\frac{d σ}{d n} = e (μ_{n} - \frac{μ _{p} n _{i}^{2}}{n ^{2}}) = 0$
より
$n = n_{i} \frac{μ _{p}}{μ _{n}}$
となる。 $n$ がこれより大きいと $\frac{d σ}{d n} > 0$ 、小さいと $\frac{d σ}{d n} < 0$ なので、ここで $σ$ は最小になる。 $μ_{p} < μ_{n}$ なので $n < n_{i}$ であり、これはアクセプタの添加で実現できる。このとき $p = n_{i} μ_{n} / μ_{p}$ であり、必要なアクセプタ濃度は電荷中性条件から $N_{A} = p - n > 0$ である。

フェルミ準位

$n = n_{i} exp (\frac{E _{F} - E _{i}}{k _{B} T})$ に代入すると
$exp (\frac{E _{F} - E _{i}}{k _{B} T}) = \frac{μ _{p}}{μ _{n}}$
となり、
$E_{i} - E_{F} = \frac{k _{B} T}{2} lo g \frac{μ _{n}}{μ _{p}}$
を得る。数値を代入すると
$\frac{μ _{n}}{μ _{p}} = \frac{1350}{480} = 2.8125, lo g 2.8125 \approx 1.0341$
であるから、
$E_{i} - E_{F} = \frac{25.9}{2} \times 1.0341 = 12.95 \times 1.0341 \approx 13.39 meV$
となる。

よって、導電率が最小になるときの $E_{i} - E_{F}$ は、有効数字 3 桁で $13.4 meV$ である（フェルミ準位は $E_{i}$ より下にある）。

別解

導電率は $σ = q (μ_{n} n + μ_{p} p)$ である。熱平衡では $n p = n_{i}^{2}$ なので、 $p = n_{i}^{2} / n$ として $σ = q (μ_{n} n + μ_{p} n_{i}^{2} / n)$ と書ける。

$n$ について微分すると $d σ / d n = q (μ_{n} - μ_{p} n_{i}^{2} / n^{2}) = 0$ より $n = n_{i} μ_{p} / μ_{n}$ 。 $σ$ は $n$ の下に凸な関数なので、この点で最小になる。

このとき $p = n_{i} μ_{n} / μ_{p} > n_{i}$ で、アクセプタ添加（p 型側）と整合する。

$n = n_{i} exp (\frac{E _{F} - E _{i}}{k _{B} T})$ より $E_{i} - E_{F} = - k_{B} T ln (n / n_{i}) = \frac{k _{B} T}{2} ln \frac{μ _{n}}{μ _{p}}$ 。

数値を代入する。 $\frac{25.9}{2} = 12.95 meV$ 、 $ln (1350/480) = ln 2.8125 = 1.03407$ なので、 $E_{i} - E_{F} = 12.95 \times 1.03407 = 13.39 \approx 13.4 meV$ 。

検算： $x = n / n_{i}$ として $μ_{n} x + μ_{p} / x$ の最小点は $x = 480/1350 = 0.5963$ 。 $ln 0.5963 = - 0.5170$ 、 $25.9 \times 0.5170 = 13.39$ で一致する。

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