電子回路・半導体デバイスの問題

温度 $300\mathrm{K}$ のシリコン結晶に、ドナーを濃度 $N_D=3.0\times 10^{16}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$、アクセプタを濃度 $N_A=1.0\times 10^{16}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ で一様に添加した（補償された半導体）。この温度でシリコンの真性キャリア密度は $n_i=1.0\times 10^{10}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$、$kT=0.0259\mathrm{eV}$ とする（$k$ はボルツマン定数）。ドナーとアクセプタはすべてイオン化しており、半導体は非縮退で、電子密度 $n$ は真性フェルミ準位 $E_i$ とフェルミ準位 $E_F$ を用いて $n=n_i\exp \left(\frac{E_F-E_i}{kT}\right)$ と表せるものとする。

熱平衡状態でのフェルミ準位と真性フェルミ準位の差 $E_F-E_i$ は何 $\mathrm{eV}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

温度 $300\mathrm{K}$ の $n$ 型ケイ素があり、熱平衡状態での電子密度は $n=1.0\times 10^{16}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ である。この温度でのケイ素の真性キャリア密度を $n_i=1.0\times 10^{10}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ とする。

電子密度は、フェルミ準位 $E_F$ と真性フェルミ準位 $E_i$ を使って
$$n=n_i\exp \frac{E_F-E_i}{kT}$$
と表されるものとする。$kT=0.026\mathrm{eV}$、$\log 10=2.3$ として、フェルミ準位が真性フェルミ準位からどれだけ高いか、すなわち $E_F-E_i$ は何 $\mathrm{eV}$ か。有効数字 $2$ 桁で答えよ。

室温 $300\mathrm{K}$ のシリコン結晶にドナーだけを濃度 $N_D=5.0\times 10^{15}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ で一様に添加した。これを長さ $L=2.0\mathrm{mm}$、幅 $0.50\mathrm{mm}$、厚さ $0.10\mathrm{mm}$ の直方体に切り出し、図のように長さ方向の両端面全体に電極（抵抗は無視できる）を付けて、長さ方向に電流を流す。ドナーはすべてイオン化しているものとし、この温度でシリコンの真性キャリア密度を $n_i=1.0\times 10^{10}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$、電子の移動度を ${\mu }_n=1250\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2/(\mathrm{V}\cdot \mathrm{s})$、正孔の移動度を ${\mu }_p=450\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2/(\mathrm{V}\cdot \mathrm{s})$、電気素量を $e=1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$ とする。熱平衡状態にあり、電流は試料の断面を一様に流れるものとする。この試料の両電極間の電気抵抗は何 $\Omega$ か。有効数字 2 桁で答えよ。

ゲルマニウムでできた階段形の pn 接合がある（図）。p 形領域のアクセプタ濃度は $N_A=4.0\times 10^{16}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$、n 形領域のドナー濃度は $N_D=1.0\times 10^{16}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ で、どちらも一様である。この温度でのゲルマニウムの真性キャリア密度は $n_i=2.0\times 10^{13}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$、熱電圧は $\frac{kT}{q}=0.0259\mathrm{V}$ とする。不純物はすべてイオン化していて、接合から十分離れた p 側・n 側の中性領域では、多数キャリア密度はそれぞれ $N_A$, $N_D$ に等しいとする。外部から電圧は加えない。この pn 接合の拡散電位 $V_{bi}$ は何 V か。$\log 10=2.303$ として、有効数字 3 桁で求めよ。

ホウ素を一様に添加した p 形シリコンの直方体の試料がある（図）。試料の長さは $L=4.0\mathrm{mm}$、断面は 1 辺 $0.50\mathrm{mm}$ の正方形である。この温度で、試料中の正孔密度は $p=2.0\times 10^{22}{\mathrm{m}}^{-3}$、電子密度は $n=5.0\times 10^9{\mathrm{m}}^{-3}$、正孔の移動度は ${\mu }_p=0.050{\mathrm{m}}^2/(\mathrm{V}\cdot \mathrm{s})$、電子の移動度は ${\mu }_n=0.14{\mathrm{m}}^2/(\mathrm{V}\cdot \mathrm{s})$ である。電気素量を $e=1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$ とする。試料の両端面（$0.50\mathrm{mm}\times 0.50\mathrm{mm}$ の面）に全面電極をつけたとき、両端の間の電気抵抗 $R$ は何 $\Omega$ か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、電極と試料の接触抵抗は無視し、電流は試料の長さの方向に一様に流れるものとする。