積分回路

帰還素子がコンデンサーのオペアンプ回路で $V_{out} = - \frac{1}{R C} \int V_{in} d t$ を導き、一定入力に対する出力電圧の時間変化を求められる

前提

理想オペアンプの反転増幅と非反転増幅（大学物理電子回路・半導体デバイス）
コンデンサーの電気容量と電気量（高校物理電場と電位・コンデンサー）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）

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多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）

説明

反転増幅回路の帰還抵抗をコンデンサーに置き換えると、出力電圧が入力電圧を時間について積分したもの（に $- \frac{1}{R C}$ を掛けたもの）になります。これを積分回路といい、 $V_{out} = - \frac{1}{R C} \int V_{in} d t$ と表されます。一定の電圧を入力すると出力は時間に比例して直線的に変化するので、のこぎり波（ランプ波）の発生、タイマー、信号の時間平均の計算などに使われます。

なぜそうしてよいのか

回路は、反転入力端子に抵抗 $R$ を通して入力 $V_{in}$ をつなぎ、反転入力端子と出力端子の間にコンデンサー $C$ をつなぎ、非反転入力端子を接地したものです。理想オペアンプでは仮想短絡により反転入力端子の電位は $0$ に保たれるので、抵抗を流れる電流は $i = \frac{V _{in}}{R}$ です。オペアンプの入力端子には電流が流れ込まないので、この電流 $i$ はすべてコンデンサーへ流れ込みます。ここまでは反転増幅回路とまったく同じ考え方です。

違うのは帰還素子の電圧と電流の関係です。コンデンサーの反転入力端子側の極板の電位は $0$ 、出力側の極板の電位は $V_{out}$ なので、反転入力端子側の極板の電気量は $Q = C (0 - V_{out}) = - C V_{out}$ です。電流 $i$ はこの極板に流れ込んで電気量を増やすので、電気量の時間変化の割合（時間で微分したもの）が電流に等しく $i = \frac{d Q}{d t} = - C \frac{d V _{out}}{d t}$ となります。 $i = \frac{V _{in}}{R}$ と等しいとおくと
$\frac{d V _{out}}{d t} = - \frac{V _{in}}{R C}$
が得られます。

つまり出力電圧は「導関数が $- \frac{V _{in}}{R C}$ である関数」なので、微分の逆である不定積分によって $V_{out} = - \frac{1}{R C} \int V_{in} d t$ と求まります。積分定数は、はじめ（ $t = 0$ ）の出力電圧、すなわちはじめにコンデンサーにたまっていた電気量で決まります。抵抗のように「いまの入力だけで出力が決まる」のではなく、コンデンサーが電荷をため込んで過去の入力を覚えているので、出力が入力の「積み重ね」になるのです。

手順

仮想短絡（反転入力端子の電位 $0$ ）から、抵抗 $R$ を流れる電流を $i = \frac{V _{in}}{R}$ と求める
入力電流 $0$ の条件から、この電流がすべてコンデンサーに流れ込むとし、反転入力端子側の極板の電気量 $Q = - C V_{out}$ を使って $i = \frac{d Q}{d t} = - C \frac{d V _{out}}{d t}$ と書く
2 つの式を等しいとおき、 $\frac{d V _{out}}{d t} = - \frac{V _{in}}{R C}$ を得る
不定積分して $V_{out} = - \frac{1}{R C} \int V_{in} d t$ とし、積分定数を $t = 0$ の出力電圧（初期条件）から決める。入力が一定値 $V_{0}$ なら $V_{out} (t) = V_{out} (0) - \frac{V _{0}}{R C} t$
求めたい時刻 $t$ を代入して、単位（ $kΩ$ 、 $μ F$ 、 $ms$ など）を SI 単位に直して計算する

例題

理想オペアンプを使った積分回路がある。反転入力端子に抵抗 $R = 10 kΩ$ を通して入力電圧 $V_{in}$ を加え、反転入力端子と出力端子の間に電気容量 $C = 1.0 μ F$ のコンデンサーをつなぎ、非反転入力端子は接地してある。時刻 $t = 0$ でコンデンサーの電気量は $0$ （出力電圧 $0$ ）であり、 $t = 0$ から一定の入力電圧 $V_{in} = 0.20 V$ を加え続ける。オペアンプの出力は飽和しないものとする。時刻 $t = 30 ms$ における出力電圧 $V_{out}$ は何 V か。正確な値（分数）で求めよ。

例題の解答

手順 1: 仮想短絡より反転入力端子の電位は $0$ なので、抵抗を流れる電流は $i = \frac{V _{in}}{R} = \frac{0.20}{10 \times 1 0 ^{3}} = 2.0 \times 1 0^{- 5} A$ 。

手順 2: 入力端子に電流は流れ込まないので、この電流はすべてコンデンサーに流れ込む。反転入力端子側の極板の電気量は $Q = - C V_{out}$ なので $i = - C \frac{d V _{out}}{d t}$ 。

手順 3: よって $\frac{d V _{out}}{d t} = - \frac{V _{in}}{R C}$ 。ここで $R C = (10 \times 1 0^{3}) \times (1.0 \times 1 0^{- 6}) = 1.0 \times 1 0^{- 2} s$ なので $\frac{d V _{out}}{d t} = - \frac{0.20}{1.0 \times 1 0 ^{- 2}} = - 20 V/s$ 。

手順 4: 入力が一定なので不定積分すると $V_{out} = - 20 t + K$ （ $K$ は積分定数）。 $t = 0$ で $V_{out} = 0$ だから $K = 0$ 、すなわち $V_{out} (t) = - 20 t$ 。

手順 5: $t = 30 ms = 3.0 \times 1 0^{- 2} s$ を代入して $V_{out} = - 20 \times 3.0 \times 1 0^{- 2} = - 0.60 = - \frac{3}{5} V$ 。出力は時間に比例して負の向きに下がっていく。

答え: $- \frac{3}{5}$

よくある誤り

符号を落として $V_{out} = + \frac{1}{R C} \int V_{in} d t$ としてしまう誤り。反転入力端子に入力をつなぐので、正しくは $V_{out} = - \frac{1}{R C} \int V_{in} d t$ で、正の一定入力なら出力は時間とともに下がる。
反転増幅回路の利得の式を当てはめて、出力を $V_{out} = - \frac{( 何か )}{R} V_{in}$ のように「いまの入力に比例する」としてしまう誤り。コンデンサーでは電流が電圧そのものではなく電圧の変化の割合に比例する（ $i = - C \frac{d V _{out}}{d t}$ ）ので、出力は入力の積分になり、一定入力でも出力は一定にならず $V_{out} (t) = V_{out} (0) - \frac{V _{0}}{R C} t$ と変化し続ける。
積分定数（初期条件）を忘れて、はじめからコンデンサーに電荷があるときも $V_{out} = - \frac{V _{0}}{R C} t$ としてしまう誤り。正しくは $t = 0$ の出力電圧を加えて $V_{out} (t) = V_{out} (0) - \frac{V _{0}}{R C} t$ とする。
単位の換算を誤る誤り。例えば $R = 10 kΩ$ 、 $C = 1.0 μ F$ で $R C = 10 \times 1.0 = 10$ としてしまう。正しくは $R C = (10 \times 1 0^{3} Ω) \times (1.0 \times 1 0^{- 6} F) = 1.0 \times 1 0^{- 2} s$ （ $Ω \cdot F = s$ ）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
図のように、理想オペアンプを用いた積分回路がある。電圧はすべて接地を基準とする。
- 入力端子は抵抗値 $R = 10 kΩ$ の抵抗を通してオペアンプの反転入力端子（ $-$ ）につながる。
- 反転入力端子と出力端子の間には、電気容量 $C = 1.0 μ F$ のコンデンサーがつながる。
- 非反転入力端子（ $+$ ）は接地されている。
時刻 $t = 0$ でコンデンサーの電荷は $0$ （出力電圧 $V_{out} = 0$ ）であり、 $t = 0$ から入力端子に一定の電圧 $V_{in} = 0.50 V$ を加え続ける。オペアンプは理想的（入力端子に流れこむ電流は $0$ 、反転入力端子と非反転入力端子の電位は等しい）とし、考える時間の範囲で出力は飽和しないものとする。出力電圧が $V_{out} = - 2.0 V$ になる時刻 $t$ は何 ms か。有効数字 2 桁で求めよ。
$R = 10 kΩ$ $C = 1.0 μ F$ $-$ $+$ $V_{in}$ $V_{out}$

積分回路

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

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