電子回路・半導体デバイスの問題

次のようなオペアンプ回路を考える。入力電圧 $v_{\mathrm{in}}$（接地に対する電圧）は、抵抗値 $R_1$ の抵抗と静電容量 $C_1$ のコンデンサーを直列に通してオペアンプの反転入力端子（$-$）につながる。反転入力端子と出力端子の間には、抵抗値 $R_2$ の抵抗と静電容量 $C_2$ のコンデンサーが並列に接続されている。非反転入力端子（$+$）は接地されており、出力電圧 $v_{\mathrm{out}}$ は接地に対する出力端子の電圧である。オペアンプは理想オペアンプ（電圧利得が無限大、入力インピーダンスが無限大、出力インピーダンスが $0$）とみなし、つねに線形領域で動作するものとする。$R_1,C_1,R_2,C_2$ は正の定数である。

入力が角周波数 $\omega (>0)$ の正弦波のとき、複素電圧利得 $H(\omega )=V_{\mathrm{out}}/V_{\mathrm{in}}$ の大きさ $|H(\omega )|$ はある角周波数で最大値をとる。$|H(\omega )|$ がその最大値の $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍になる角周波数はちょうど 2 つあり、それらを ${\omega }_L,{\omega }_H({\omega }_L<{\omega }_H)$ とする。帯域幅 ${\omega }_H-{\omega }_L$ を $R_1,C_1,R_2,C_2$ を用いて表せ。

図のような、理想オペアンプを用いたアクティブフィルタを考える。

• 入力端子から、抵抗値 $R$ の抵抗と静電容量 $C$ のコンデンサーを直列に通して、オペアンプの反転入力端子（$-$）につなぐ。
• 反転入力端子と出力端子の間には、抵抗値 $3R$ の抵抗と静電容量 $\frac{C}{2}$ のコンデンサーを並列に接続する。
• 非反転入力端子（$+$）は接地する。

入力端子間に角周波数 $\omega$（$\omega >0$）の正弦波電圧 $v_{\mathrm{in}}$ を加えた定常状態で、出力電圧を $v_{\mathrm{out}}$ とし、電圧利得を $G(\omega )=\left|\frac{V_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{in}}}\right|$（$V_{\mathrm{in}},V_{\mathrm{out}}$ はそれぞれの複素振幅）と定める。

オペアンプは理想的（開ループ利得が無限大、入力インピーダンスが無限大、出力インピーダンスが $0$）で、飽和せず線形に動作するものとする。

$G(\omega )$ の最大値を $G_{\max }$ とする。$G(\omega )=\frac{G_{\max }}{\sqrt{2}}$ となる角周波数は 2 つある。小さい方を低域遮断角周波数 ${\omega }_L$、大きい方を高域遮断角周波数 ${\omega }_H$ とするとき、${\omega }_L$ と ${\omega }_H$ を $R,C$ を用いて表し、この順に答えよ。

図のオペアンプ回路を考える。入力電圧 $V_1$ は抵抗 $R_1=10\mathrm{k\Omega }$ を通して反転入力端子（$-$）につながり、反転入力端子と出力端子の間には帰還抵抗 $R_f=40\mathrm{k\Omega }$ がつながっている。入力電圧 $V_2$ は抵抗 $R_2=10\mathrm{k\Omega }$ と $R_3=30\mathrm{k\Omega }$ の直列回路で分圧され、$R_2$ と $R_3$ の接続点が非反転入力端子（$+$）につながっている。$R_3$ のもう一方の端は接地されている。電圧はすべて接地を基準とする。

オペアンプは理想オペアンプ（開ループ利得は無限大、入力端子に電流は流れない、出力インピーダンスは $0$）とし、出力は飽和しないものとする。入力電圧源の内部抵抗は無視する。$V_1=0.50\mathrm{V}$、$V_2=1.20\mathrm{V}$ の直流電圧を加えたときの出力電圧 $V_{\mathrm{out}}$ は何 V か。正確な値で求めよ。

図のオペアンプ回路を考える。入力電圧 $V_{\mathrm{in}}$ は抵抗 $R_1=10\mathrm{k\Omega }$ を通してオペアンプの反転入力端子（$-$）につながる。反転入力端子と点 $\mathrm{T}$ の間に抵抗 $R_2=100\mathrm{k\Omega }$、点 $\mathrm{T}$ と出力端子の間に抵抗 $R_3=100\mathrm{k\Omega }$、点 $\mathrm{T}$ と接地の間に抵抗 $R_4=10\mathrm{k\Omega }$ がつながっている（T 形帰還回路）。非反転入力端子（$+$）は接地されている。電圧はすべて接地を基準とし、出力電圧を $V_{\mathrm{out}}$ とする。

オペアンプは理想オペアンプ（電圧利得が無限大、入力インピーダンスが無限大、出力インピーダンスが $0$）とみなし、出力は飽和せず線形領域で動作するものとする。この回路の電圧利得 $V_{\mathrm{out}}/V_{\mathrm{in}}$ を求めよ。

図のように、角周波数 $\omega$ の正弦波交流電圧 $v_{\mathrm{in}}$ を出す理想的な交流電源（内部インピーダンス $0$）に、自己インダクタンス $L=10\mathrm{mH}$ のコイル、静電容量 $C=1.0\mu \mathrm{F}$ のコンデンサー、抵抗値 $R=100\Omega$ の抵抗をこの順に直列につなぎ、抵抗の両端の電圧 $v_{\mathrm{out}}$ を出力とする帯域通過フィルタを考える。出力端子には何もつながない（出力電流は $0$）。コイル・コンデンサーは理想的な素子とし、コイルの巻線の抵抗は無視する。

電圧利得 $\left|\frac{V_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{in}}}\right|$（$V_{\mathrm{in}},V_{\mathrm{out}}$ は $v_{\mathrm{in}},v_{\mathrm{out}}$ の複素振幅）が、その最大値の $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍になる角周波数は 2 つある。それらを小さい方を ${\omega }_1$、大きい方を ${\omega }_2$ とするとき、$({\omega }_1,{\omega }_2)$ を単位 $rad/s$ で、根号を用いた正確な値で求めよ。