電子回路・半導体デバイスの問題

次のようなオペアンプ回路を考える。入力電圧 $v_{\mathrm{in}}$（接地に対する電圧）は、抵抗値 $R_1$ の抵抗と静電容量 $C_1$ のコンデンサーを直列に通してオペアンプの反転入力端子（$-$）につながる。反転入力端子と出力端子の間には、抵抗値 $R_2$ の抵抗と静電容量 $C_2$ のコンデンサーが並列に接続されている。非反転入力端子（$+$）は接地されており、出力電圧 $v_{\mathrm{out}}$ は接地に対する出力端子の電圧である。オペアンプは理想オペアンプ（電圧利得が無限大、入力インピーダンスが無限大、出力インピーダンスが $0$）とみなし、つねに線形領域で動作するものとする。$R_1,C_1,R_2,C_2$ は正の定数である。

入力が角周波数 $\omega (>0)$ の正弦波のとき、複素電圧利得 $H(\omega )=V_{\mathrm{out}}/V_{\mathrm{in}}$ の大きさ $|H(\omega )|$ はある角周波数で最大値をとる。$|H(\omega )|$ がその最大値の $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍になる角周波数はちょうど 2 つあり、それらを ${\omega }_L,{\omega }_H({\omega }_L<{\omega }_H)$ とする。帯域幅 ${\omega }_H-{\omega }_L$ を $R_1,C_1,R_2,C_2$ を用いて表せ。

図のように、理想オペアンプ 3 個 ${\mathrm{A}}_1$, ${\mathrm{A}}_2$, ${\mathrm{A}}_3$ を用いた回路がある。どのオペアンプも非反転入力端子（$+$）は接地されている。電圧はすべて接地に対する電圧である。

• ${\mathrm{A}}_1$：入力電圧 $v_{\mathrm{in}}$ が抵抗 $R_1=25\mathrm{k\Omega }$ を通して反転入力端子（$-$）につながる。${\mathrm{A}}_3$ の出力電圧 $v_3$ も、抵抗 $R_2=10\mathrm{k\Omega }$ を通して同じ反転入力端子につながる。反転入力端子と出力端子のあいだには、静電容量 $C_1=10\mathrm{nF}$ のコンデンサーと抵抗 $R_Q=50\mathrm{k\Omega }$ が並列に接続されている。${\mathrm{A}}_1$ の出力電圧を $v_1$ とする。
• ${\mathrm{A}}_2$：$v_1$ が抵抗 $R_3=10\mathrm{k\Omega }$ を通して反転入力端子につながり、反転入力端子と出力端子のあいだに静電容量 $C_2=10\mathrm{nF}$ のコンデンサーが接続されている。${\mathrm{A}}_2$ の出力電圧を $v_2$ とする。
• ${\mathrm{A}}_3$：$v_2$ が抵抗 $R_4=10\mathrm{k\Omega }$ を通して反転入力端子につながり、反転入力端子と出力端子のあいだに抵抗値 $R_4$ の抵抗がもう 1 個接続されている。${\mathrm{A}}_3$ の出力電圧が $v_3$ である。

ここで $1\mathrm{k\Omega }=10^3\Omega$, $1\mathrm{nF}=10^{-9}\mathrm{F}$ であり、素子の値はすべて正確な値とする。オペアンプは理想素子（開ループ利得は無限大、入力端子に流れこむ電流は $0$、出力インピーダンスは $0$）とし、出力は飽和せず線形に動作するものとする。

$v_{\mathrm{in}}$ を角周波数 $\omega$（$\omega >0$）の正弦波とし、回路が定常状態にあるとき、$v_1$ の振幅と $v_{\mathrm{in}}$ の振幅の比 $|v_1/v_{\mathrm{in}}|$ がちょうど $1$ になる $\omega$ は 2 つある。これらを小さい順に、単位 $rad/s$ で、根号を用いた正確な値で求めよ。

図のように、角周波数 $\omega$ の正弦波交流電圧 $v_{\mathrm{in}}$ を出す理想的な交流電源（内部インピーダンス $0$）に、自己インダクタンス $L=10\mathrm{mH}$ のコイル、静電容量 $C=1.0\mu \mathrm{F}$ のコンデンサー、抵抗値 $R=100\Omega$ の抵抗をこの順に直列につなぎ、抵抗の両端の電圧 $v_{\mathrm{out}}$ を出力とする帯域通過フィルタを考える。出力端子には何もつながない（出力電流は $0$）。コイル・コンデンサーは理想的な素子とし、コイルの巻線の抵抗は無視する。

電圧利得 $\left|\frac{V_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{in}}}\right|$（$V_{\mathrm{in}},V_{\mathrm{out}}$ は $v_{\mathrm{in}},v_{\mathrm{out}}$ の複素振幅）が、その最大値の $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍になる角周波数は 2 つある。それらを小さい方を ${\omega }_1$、大きい方を ${\omega }_2$ とするとき、$({\omega }_1,{\omega }_2)$ を単位 $rad/s$ で、根号を用いた正確な値で求めよ。

図のような、理想オペアンプを電圧フォロワとして用いた 2 次の能動低域通過フィルタ（サレン・キー形）を考える。入力電圧 $V_{\mathrm{in}}$ は抵抗値 $R$ の抵抗 2 個を直列に通ってオペアンプの非反転入力端子（$+$）につながる。2 個の抵抗の接続点 A と出力端子の間には静電容量 $C_1=4C$ のコンデンサーが、非反転入力端子と接地の間には静電容量 $C_2=C$ のコンデンサーがつながっている。オペアンプの反転入力端子（$-$）は出力端子に直結されており、出力電圧を $V_{\mathrm{out}}$ とする。ただし $R>0$, $C>0$ とする。

オペアンプは理想素子（入力インピーダンスが無限大、出力インピーダンスが 0、開ループ利得が無限大）とみなし、回路は正弦波定常状態にあるとする。電圧伝達関数 $H(j\omega )=V_{\mathrm{out}}/V_{\mathrm{in}}$ の大きさ $|H(j\omega )|$ が、直流（$\omega =0$）での値の $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍になる角周波数 ${\omega }_c(>0)$ を、$R$, $C$ を用いて求めよ。

図のオペアンプ回路を考える。入力電圧 $V_{\mathrm{in}}$ は抵抗 $R_1=10\mathrm{k\Omega }$ を通してオペアンプの反転入力端子（$-$）につながる。反転入力端子と点 $\mathrm{T}$ の間に抵抗 $R_2=100\mathrm{k\Omega }$、点 $\mathrm{T}$ と出力端子の間に抵抗 $R_3=100\mathrm{k\Omega }$、点 $\mathrm{T}$ と接地の間に抵抗 $R_4=10\mathrm{k\Omega }$ がつながっている（T 形帰還回路）。非反転入力端子（$+$）は接地されている。電圧はすべて接地を基準とし、出力電圧を $V_{\mathrm{out}}$ とする。

オペアンプは理想オペアンプ（電圧利得が無限大、入力インピーダンスが無限大、出力インピーダンスが $0$）とみなし、出力は飽和せず線形領域で動作するものとする。この回路の電圧利得 $V_{\mathrm{out}}/V_{\mathrm{in}}$ を求めよ。