電子回路・半導体デバイスの問題

次のようなオペアンプ回路を考える。入力電圧 $v_{\mathrm{in}}$（接地に対する電圧）は、抵抗値 $R_1$ の抵抗と静電容量 $C_1$ のコンデンサーを直列に通してオペアンプの反転入力端子（$-$）につながる。反転入力端子と出力端子の間には、抵抗値 $R_2$ の抵抗と静電容量 $C_2$ のコンデンサーが並列に接続されている。非反転入力端子（$+$）は接地されており、出力電圧 $v_{\mathrm{out}}$ は接地に対する出力端子の電圧である。オペアンプは理想オペアンプ（電圧利得が無限大、入力インピーダンスが無限大、出力インピーダンスが $0$）とみなし、つねに線形領域で動作するものとする。$R_1,C_1,R_2,C_2$ は正の定数である。

入力が角周波数 $\omega (>0)$ の正弦波のとき、複素電圧利得 $H(\omega )=V_{\mathrm{out}}/V_{\mathrm{in}}$ の大きさ $|H(\omega )|$ はある角周波数で最大値をとる。$|H(\omega )|$ がその最大値の $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍になる角周波数はちょうど 2 つあり、それらを ${\omega }_L,{\omega }_H({\omega }_L<{\omega }_H)$ とする。帯域幅 ${\omega }_H-{\omega }_L$ を $R_1,C_1,R_2,C_2$ を用いて表せ。

図のように、起電力 $v_i$（角周波数 $\omega$ の正弦波）で内部抵抗 $R_s=40\Omega$ の交流電圧源に、インダクタンス $L=10\mathrm{mH}$ のコイル、静電容量 $C=1.0\mu \mathrm{F}$ のコンデンサー、抵抗 $R=60\Omega$ の抵抗をこの順に直列につなぎ、抵抗 $R$ の両端の電圧を出力電圧 $v_o$ とする帯域通過フィルタがある。出力端子には何もつながっていない。

電圧伝達関数の大きさ $|v_o/v_i|$ が、その最大値の $1/\sqrt{2}$ 倍になる角周波数のうち、小さい方を ${\omega }_L$、大きい方を ${\omega }_H$ とする。${\omega }_L$ と ${\omega }_H$（単位はいずれも $rad/s$）を、根号を用いた正確な値で、この順に組 $({\omega }_L,{\omega }_H)$ として求めよ。ただし、コイル・コンデンサーは理想素子とし、回路は定常状態にあるものとする。

図のように、抵抗値 $R$ の抵抗 2 個と静電容量 $C$ のコンデンサー 2 個を用いて、RC 低域通過フィルタを 2 段、間に緩衝増幅器を入れずにはしご形に接続した回路を考える。入力電圧 $V_{\mathrm{in}}$ は 1 段目の抵抗を通して節点に加わり、この節点と接地の間に 1 段目のコンデンサーがつながる。さらにこの節点から 2 段目の抵抗を通って出力端子に至り、出力端子と接地の間に 2 段目のコンデンサーがつながる。出力電圧 $V_{\mathrm{out}}$ は 2 段目のコンデンサーの両端の電圧である。

入力には内部インピーダンス $0$ の理想的な正弦波交流電圧源（角周波数 $\omega$）をつなぎ、出力端子には何もつながない（開放）。素子はすべて理想的とし、回路は正弦波定常状態にあるとする。

電圧伝達関数 $H(j\omega )=V_{\mathrm{out}}/V_{\mathrm{in}}$ の大きさが、直流（$\omega \to 0$）での値の $1/\sqrt{2}$ 倍になる角周波数を遮断角周波数 ${\omega }_c$ とする。${\omega }_c$ を $R$, $C$ を用いて表せ。

図のように、抵抗値 $R$ の抵抗 2 個と静電容量 $C$ のコンデンサー 2 個を用いて、RC 低域通過フィルタを 2 段、緩衝増幅器（バッファ）を入れずにそのまま縦続接続した回路がある。入力端子間に角周波数 $\omega$ の正弦波電圧 $v_{\mathrm{in}}$ を加え、出力端子間の電圧 $v_{\mathrm{out}}$ を取り出す。入力の信号源の内部インピーダンスは 0 で、出力端子には何もつながっていない（開放）とする。抵抗とコンデンサーは理想的な素子とし、$R>0$, $C>0$ とする。

電圧伝達関数の大きさ $\left|\frac{V_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{in}}}\right|$ が直流（$\omega =0$）のときの値の $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍になる周波数（$-3\mathrm{dB}$ 遮断周波数）$f_{\mathrm{c}}$ を、$R,C$ を用いて表せ。ただし $V_{\mathrm{in}},V_{\mathrm{out}}$ は $v_{\mathrm{in}},v_{\mathrm{out}}$ の複素振幅（フェーザ）である。

図のような、理想オペアンプを用いたアクティブフィルタを考える。

• 入力端子から、抵抗値 $R$ の抵抗と静電容量 $C$ のコンデンサーを直列に通して、オペアンプの反転入力端子（$-$）につなぐ。
• 反転入力端子と出力端子の間には、抵抗値 $3R$ の抵抗と静電容量 $\frac{C}{2}$ のコンデンサーを並列に接続する。
• 非反転入力端子（$+$）は接地する。

入力端子間に角周波数 $\omega$（$\omega >0$）の正弦波電圧 $v_{\mathrm{in}}$ を加えた定常状態で、出力電圧を $v_{\mathrm{out}}$ とし、電圧利得を $G(\omega )=\left|\frac{V_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{in}}}\right|$（$V_{\mathrm{in}},V_{\mathrm{out}}$ はそれぞれの複素振幅）と定める。

オペアンプは理想的（開ループ利得が無限大、入力インピーダンスが無限大、出力インピーダンスが $0$）で、飽和せず線形に動作するものとする。

$G(\omega )$ の最大値を $G_{\max }$ とする。$G(\omega )=\frac{G_{\max }}{\sqrt{2}}$ となる角周波数は 2 つある。小さい方を低域遮断角周波数 ${\omega }_L$、大きい方を高域遮断角周波数 ${\omega }_H$ とするとき、${\omega }_L$ と ${\omega }_H$ を $R,C$ を用いて表し、この順に答えよ。