理想オペアンプの反転増幅と非反転増幅

理想オペアンプ 1 個を用いた反転増幅回路を考える。電圧はすべて接地（グラウンド）を基準とし、入力は直流とする。

• 入力端子は、抵抗値 $R_1=2.0\mathrm{k\Omega }$ の抵抗を通して、オペアンプの反転入力端子（$-$）につながっている。
• 反転入力端子とオペアンプの出力端子のあいだには、抵抗値 $R_f=10\mathrm{k\Omega }$ の帰還抵抗がつながっている。
• オペアンプの非反転入力端子（$+$）は接地されている。
• 出力端子には何もつながっていない（負荷はない）。

オペアンプは理想素子とみなす。すなわち、入力端子に流れこむ電流は $0$ であり、負帰還がかかっているので反転入力端子と非反転入力端子の電位は等しい（仮想短絡）とする。また、出力電圧は電源電圧で制限されず（飽和しない）とする。

入力電圧が $V_{\mathrm{in}}=0.40\mathrm{V}$ のとき、出力電圧 $V_{\mathrm{out}}$ は何 V か。正負の符号もつけて、正確な値で答えよ。

図のような、理想オペアンプを用いた非反転加算回路を考える。入力電圧 $V_1$ は抵抗 $R_a=10\mathrm{k\Omega }$ を通して、入力電圧 $V_2$ は抵抗 $R_b=20\mathrm{k\Omega }$ を通して、どちらもオペアンプの非反転入力端子（$+$）につながる。非反転入力端子にはこれ以外の素子はつながっていない。反転入力端子（$-$）は抵抗 $R_g=10\mathrm{k\Omega }$ を通して接地され、反転入力端子と出力端子の間には帰還抵抗 $R_f=20\mathrm{k\Omega }$ が接続されている。電圧はすべて接地を基準とする。

オペアンプは理想的（入力端子に電流は流れず、出力が飽和しない範囲では負帰還によって 2 つの入力端子の電位が等しくなる）とし、入力電圧の信号源の内部抵抗は無視できるとする。

$V_1=0.50\mathrm{V}$、$V_2=-0.30\mathrm{V}$ のとき、出力電圧 $V_{\mathrm{out}}$ は何 $\mathrm{V}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

2 個のオペアンプ $\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1$, $\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2$ を用いた次の回路を考える。電圧はすべてグラウンドを基準とし、入力はすべて直流とする。

• 1 段目（$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1$）: 入力電圧 $V_1=0.50\mathrm{V}$ は抵抗 $R_1=10\mathrm{k\Omega }$ を通して、入力電圧 $V_2=-0.20\mathrm{V}$ は抵抗 $R_2=20\mathrm{k\Omega }$ を通して、ともに $\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1$ の反転入力端子（$-$）につながる。$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1$ の反転入力端子と出力端子の間には抵抗 $R_f=40\mathrm{k\Omega }$ がつながり、$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1$ の非反転入力端子（$+$）はグラウンドにつながる。
• 2 段目（$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2$）: $\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1$ の出力端子は $\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2$ の非反転入力端子（$+$）に直接つながる。$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2$ の反転入力端子（$-$）は抵抗 $R_3=10\mathrm{k\Omega }$ を通してグラウンドにつながり、さらに抵抗 $R_4=15\mathrm{k\Omega }$ を通して $\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2$ の出力端子につながる。$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2$ の出力電圧を $V_{\mathrm{out}}$ とする。

オペアンプはどちらも理想オペアンプ（開ループ利得が無限大、入力インピーダンスが無限大、出力インピーダンスが $0$）とし、電源電圧は $\pm 15\mathrm{V}$ で、出力はこの範囲では飽和しないものとする。$V_{\mathrm{out}}$ は何 V か。正確な値で答えよ。

理想オペアンプを用いた次の回路（非反転加算回路）を考える。電圧はすべてグラウンドを基準とする。

• 直流電圧 $V_1=1.0\mathrm{V}$ の入力端子は抵抗 $R_A=10\mathrm{k\Omega }$ を通して、直流電圧 $V_2=-0.50\mathrm{V}$ の入力端子は抵抗 $R_B=20\mathrm{k\Omega }$ を通して、それぞれオペアンプの非反転入力端子（$+$）につながっている。さらに、非反転入力端子とグラウンドの間に抵抗 $R_C=20\mathrm{k\Omega }$ がつながっている。
• 反転入力端子（$-$）とグラウンドの間に抵抗 $R_g=10\mathrm{k\Omega }$、反転入力端子と出力端子の間に帰還抵抗 $R_f=30\mathrm{k\Omega }$ がつながっている。

$V_1$, $V_2$ は内部抵抗 $0$ の理想的な電圧源から与えられる。オペアンプは理想的（開ループ利得は無限大、入力端子に流れ込む電流は $0$、出力電圧は飽和しない）とする。出力電圧 $V_{\mathrm{out}}$ は何 $\mathrm{V}$ か。分数または整数で答えよ。

次のようなオペアンプ回路を考える。入力電圧 $v_{\mathrm{in}}$（接地に対する電圧）は、抵抗値 $R_1$ の抵抗と静電容量 $C_1$ のコンデンサーを直列に通してオペアンプの反転入力端子（$-$）につながる。反転入力端子と出力端子の間には、抵抗値 $R_2$ の抵抗と静電容量 $C_2$ のコンデンサーが並列に接続されている。非反転入力端子（$+$）は接地されており、出力電圧 $v_{\mathrm{out}}$ は接地に対する出力端子の電圧である。オペアンプは理想オペアンプ（電圧利得が無限大、入力インピーダンスが無限大、出力インピーダンスが $0$）とみなし、つねに線形領域で動作するものとする。$R_1,C_1,R_2,C_2$ は正の定数である。

入力が角周波数 $\omega (>0)$ の正弦波のとき、複素電圧利得 $H(\omega )=V_{\mathrm{out}}/V_{\mathrm{in}}$ の大きさ $|H(\omega )|$ はある角周波数で最大値をとる。$|H(\omega )|$ がその最大値の $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍になる角周波数はちょうど 2 つあり、それらを ${\omega }_L,{\omega }_H({\omega }_L<{\omega }_H)$ とする。帯域幅 ${\omega }_H-{\omega }_L$ を $R_1,C_1,R_2,C_2$ を用いて表せ。

図のオペアンプ回路を考える。入力電圧 $V_{\mathrm{in}}$ は抵抗 $R_1=10\mathrm{k\Omega }$ を通してオペアンプの反転入力端子（$-$）につながる。反転入力端子と点 $\mathrm{T}$ の間に抵抗 $R_2=100\mathrm{k\Omega }$、点 $\mathrm{T}$ と出力端子の間に抵抗 $R_3=100\mathrm{k\Omega }$、点 $\mathrm{T}$ と接地の間に抵抗 $R_4=10\mathrm{k\Omega }$ がつながっている（T 形帰還回路）。非反転入力端子（$+$）は接地されている。電圧はすべて接地を基準とし、出力電圧を $V_{\mathrm{out}}$ とする。

オペアンプは理想オペアンプ（電圧利得が無限大、入力インピーダンスが無限大、出力インピーダンスが $0$）とみなし、出力は飽和せず線形領域で動作するものとする。この回路の電圧利得 $V_{\mathrm{out}}/V_{\mathrm{in}}$ を求めよ。

図のような、理想オペアンプを用いたアクティブフィルタを考える。

• 入力端子から、抵抗値 $R$ の抵抗と静電容量 $C$ のコンデンサーを直列に通して、オペアンプの反転入力端子（$-$）につなぐ。
• 反転入力端子と出力端子の間には、抵抗値 $3R$ の抵抗と静電容量 $\frac{C}{2}$ のコンデンサーを並列に接続する。
• 非反転入力端子（$+$）は接地する。

入力端子間に角周波数 $\omega$（$\omega >0$）の正弦波電圧 $v_{\mathrm{in}}$ を加えた定常状態で、出力電圧を $v_{\mathrm{out}}$ とし、電圧利得を $G(\omega )=\left|\frac{V_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{in}}}\right|$（$V_{\mathrm{in}},V_{\mathrm{out}}$ はそれぞれの複素振幅）と定める。

オペアンプは理想的（開ループ利得が無限大、入力インピーダンスが無限大、出力インピーダンスが $0$）で、飽和せず線形に動作するものとする。

$G(\omega )$ の最大値を $G_{\max }$ とする。$G(\omega )=\frac{G_{\max }}{\sqrt{2}}$ となる角周波数は 2 つある。小さい方を低域遮断角周波数 ${\omega }_L$、大きい方を高域遮断角周波数 ${\omega }_H$ とするとき、${\omega }_L$ と ${\omega }_H$ を $R,C$ を用いて表し、この順に答えよ。

図のように、理想オペアンプ 3 個 ${\mathrm{A}}_1$, ${\mathrm{A}}_2$, ${\mathrm{A}}_3$ を用いた回路がある。どのオペアンプも非反転入力端子（$+$）は接地されている。電圧はすべて接地に対する電圧である。

• ${\mathrm{A}}_1$：入力電圧 $v_{\mathrm{in}}$ が抵抗 $R_1=25\mathrm{k\Omega }$ を通して反転入力端子（$-$）につながる。${\mathrm{A}}_3$ の出力電圧 $v_3$ も、抵抗 $R_2=10\mathrm{k\Omega }$ を通して同じ反転入力端子につながる。反転入力端子と出力端子のあいだには、静電容量 $C_1=10\mathrm{nF}$ のコンデンサーと抵抗 $R_Q=50\mathrm{k\Omega }$ が並列に接続されている。${\mathrm{A}}_1$ の出力電圧を $v_1$ とする。
• ${\mathrm{A}}_2$：$v_1$ が抵抗 $R_3=10\mathrm{k\Omega }$ を通して反転入力端子につながり、反転入力端子と出力端子のあいだに静電容量 $C_2=10\mathrm{nF}$ のコンデンサーが接続されている。${\mathrm{A}}_2$ の出力電圧を $v_2$ とする。
• ${\mathrm{A}}_3$：$v_2$ が抵抗 $R_4=10\mathrm{k\Omega }$ を通して反転入力端子につながり、反転入力端子と出力端子のあいだに抵抗値 $R_4$ の抵抗がもう 1 個接続されている。${\mathrm{A}}_3$ の出力電圧が $v_3$ である。

ここで $1\mathrm{k\Omega }=10^3\Omega$, $1\mathrm{nF}=10^{-9}\mathrm{F}$ であり、素子の値はすべて正確な値とする。オペアンプは理想素子（開ループ利得は無限大、入力端子に流れこむ電流は $0$、出力インピーダンスは $0$）とし、出力は飽和せず線形に動作するものとする。

$v_{\mathrm{in}}$ を角周波数 $\omega$（$\omega >0$）の正弦波とし、回路が定常状態にあるとき、$v_1$ の振幅と $v_{\mathrm{in}}$ の振幅の比 $|v_1/v_{\mathrm{in}}|$ がちょうど $1$ になる $\omega$ は 2 つある。これらを小さい順に、単位 $rad/s$ で、根号を用いた正確な値で求めよ。