電子回路・半導体デバイスの問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理電子回路・半導体デバイス

図のような、理想オペアンプを用いた非反転加算回路を考える。入力電圧 $V_{1}$ は抵抗 $R_{a} = 10 kΩ$ を通して、入力電圧 $V_{2}$ は抵抗 $R_{b} = 20 kΩ$ を通して、どちらもオペアンプの非反転入力端子（ $+$ ）につながる。非反転入力端子にはこれ以外の素子はつながっていない。反転入力端子（ $-$ ）は抵抗 $R_{g} = 10 kΩ$ を通して接地され、反転入力端子と出力端子の間には帰還抵抗 $R_{f} = 20 kΩ$ が接続されている。電圧はすべて接地を基準とする。

オペアンプは理想的（入力端子に電流は流れず、出力が飽和しない範囲では負帰還によって 2 つの入力端子の電位が等しくなる）とし、入力電圧の信号源の内部抵抗は無視できるとする。

$V_{1} = 0.50 V$ 、 $V_{2} = - 0.30 V$ のとき、出力電圧 $V_{out}$ は何 $V$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

+

-

V_{1}

R_{a}

（

10 kΩ

）

V_{2}

R_{b}

（

20 kΩ

）

R_{g}

（

10 kΩ

）

R_{f}

（

20 kΩ

）

V_{out}

この問題で使うもの

加算回路と差動増幅回路（説明と入口の問題）
理想オペアンプの反転増幅と非反転増幅（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（13 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず非反転入力端子の電位 $V_{+}$ を求め、次に $R_{f}$ と $R_{g}$ による非反転増幅の関係を使います。

ヒント 2

入力端子に電流は流れないので、非反転入力端子で $\frac{V _{1} - V _{+}}{R _{a}} + \frac{V _{2} - V _{+}}{R _{b}} = 0$ 。また $V_{-} = V_{+}$ 、 $V_{-} = \frac{R _{g}}{R _{g} + R _{f}} V_{out}$ です。

ヒント 3

$V_{+} = \frac{2 V _{1} + V _{2}}{3}$ となり、非反転増幅の利得は $1 + R_{f} / R_{g} = 3$ です。

答えと解説

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0.70

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解説を読む

1. 非反転入力端子の電位

理想オペアンプでは入力端子に電流が流れないので、 $R_{a}$ を流れて非反転入力端子に向かう電流と $R_{b}$ を流れる電流の和は $0$ である。非反転入力端子の電位を $V_{+}$ とすると、キルヒホッフの電流則より
$\frac{V _{1} - V _{+}}{R _{a}} + \frac{V _{2} - V _{+}}{R _{b}} = 0$
$V_{+} = \frac{V _{1} / R _{a} + V _{2} / R _{b}}{1/ R _{a} + 1/ R _{b}} = \frac{R _{b} V _{1} + R _{a} V _{2}}{R _{a} + R _{b}} = \frac{20 V _{1} + 10 V _{2}}{30} = \frac{2 V _{1} + V _{2}}{3}$
数値を代入すると
$V_{+} = \frac{2 \times 0.50 + ( - 0.30 )}{3} = \frac{0.70}{3} V$

2. 非反転増幅

負帰還がかかっているので、反転入力端子の電位 $V_{-}$ は $V_{+}$ に等しい。反転入力端子にも電流は流れないので、 $R_{f}$ と $R_{g}$ には同じ電流が流れ、 $V_{-}$ は $V_{out}$ を $R_{f}$ と $R_{g}$ で分圧した電圧になる。
$V_{-} = \frac{R _{g}}{R _{g} + R _{f}} V_{out} = \frac{10}{30} V_{out} = \frac{V _{out}}{3}$
$V_{-} = V_{+}$ より
$V_{out} = (1 + \frac{R _{f}}{R _{g}}) V_{+} = 3 \times \frac{0.70}{3} = 0.70 V$
（一般に、この回路では $V_{out} = 2 V_{1} + V_{2}$ となる。）

よって、有効数字 2 桁で $0.70 V$ である。

別解

非反転入力端子（+）には電流が流れ込まないので、 $R_{a}$ と $R_{b}$ を流れる電流の和は 0。非反転入力端子の電位 $V_{+}$ について（ミルマンの定理）:
$\frac{V _{1} - V _{+}}{R _{a}} + \frac{V _{2} - V _{+}}{R _{b}} = 0$
$V_{+} = \frac{V _{1} / R _{a} + V _{2} / R _{b}}{1/ R _{a} + 1/ R _{b}}$ 。

数値（kΩ, V で計算）: $V_{1} / R_{a} = 0.50/10 = 0.050$ 、 $V_{2} / R_{b} = - 0.30/20 = - 0.015$ 、和は $0.035$ 。 $1/ R_{a} + 1/ R_{b} = 0.10 + 0.050 = 0.15$ 。
$V_{+} = \frac{0.035}{0.15} = \frac{7}{30} \approx 0.2333 V$ 。

理想オペアンプでは $V_{-} = V_{+}$ 。反転入力端子の電流は 0 なので、 $R_{g}$ と $R_{f}$ は直列の分圧になっている:
$V_{-} = V_{o u t} \frac{R _{g}}{R _{g} + R _{f}}$ より $V_{o u t} = V_{+} (1 + \frac{R _{f}}{R _{g}}) = V_{+} (1 + \frac{20}{10}) = 3 V_{+}$ 。

$V_{o u t} = 3 \times \frac{7}{30} = 0.70 V$ 。

検算: $V_{-} = 0.70 \times \frac{10}{30} = 0.2333 V = V_{+}$ で一致。 $R_{a}$ の電流 $= (0.5 - 0.2333) /10 = 0.02667$ mA、 $R_{b}$ の電流 $= (- 0.3 - 0.2333) /20 = - 0.02667$ mA で和は 0。

答えは $0.70 V$ 。

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