加算回路と差動増幅回路

複数の入力をもつオペアンプ回路で、非反転入力端子の電位を分圧で求めて仮想短絡を使い、出力電圧を入力電圧の 1 次式で表せる

前提

理想オペアンプの反転増幅と非反転増幅（大学物理電子回路・半導体デバイス）

この技能までの道筋（12 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
静電気・放電と電子（中学理科物理分野の用語と知識）
帯電と電気量保存の法則（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
クーロンの法則と電場・電気力線（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
電流の正体と電流の向き（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と抵抗率（高校物理電流と回路（知識））
抵抗の直列接続・並列接続（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と合成抵抗（高校物理電流と回路）
電池の起電力・内部抵抗・端子電圧（高校物理電流と回路（知識））
キルヒホッフの法則の意味（高校物理電流と回路（知識））
キルヒホッフの法則（高校物理電流と回路）
理想オペアンプの反転増幅と非反転増幅（大学物理電子回路・半導体デバイス）

説明

オペアンプに入力電圧を 2 つ以上つないだ回路では、出力電圧が各入力電圧の 1 次式（重みつきの和や差）になります。複数の入力を抵抗で反転入力端子に集める加算回路では $V_{out} = - R_{f} (\frac{V _{1}}{R _{1}} + \frac{V _{2}}{R _{2}} + \dots)$ 、反転入力と非反転入力に別々の電圧を入れる差動増幅回路では、条件がそろえば $V_{out} = \frac{R _{2}}{R _{1}} (V_{2} - V_{1})$ のように差に比例した出力が得られます。この技能では、非反転入力端子の電位を分圧で求め、仮想短絡と入力電流 0 の条件を使って、こうした回路の出力電圧を求められるようになります。センサー信号の差の増幅や、複数の信号の混合などで使います。

なぜそうしてよいのか

理想オペアンプ（負帰還がかかっているもの）の解析で使うのは、反転・非反転増幅のときと同じ 2 つの条件だけです。(1) 入力端子には電流が流れ込まない。(2) 2 つの入力端子の電位は等しい（仮想短絡 $V_{-} = V_{+}$ ）。入力が増えても、この 2 つを各節点のキルヒホッフの第 1 法則（流れ込む電流の和 = 流れ出る電流の和）と組み合わせれば出力が決まります。

まず非反転入力端子 $+$ には電流が流れ込まないので、そこにつながる抵抗の回路はオペアンプがないものとして扱えます。抵抗 $R_{3}$ を通して $V_{2}$ 、抵抗 $R_{4}$ を通して接地されていれば、 $R_{3}$ と $R_{4}$ に同じ電流が流れるので分圧の式 $V_{+} = \frac{R _{4}}{R _{3} + R _{4}} V_{2}$ が成り立ちます。複数の入力が抵抗でつながっていれば、 $+$ 端子での電流の和を 0 とおいて $V_{+}$ を求めます。

次に、仮想短絡により反転入力端子の電位も $V_{-} = V_{+}$ に決まります。反転入力端子に入力抵抗 $R_{1}$ （入力 $V_{1}$ ）と帰還抵抗 $R_{2}$ （出力 $V_{out}$ ）がつながっていれば、端子に電流が流れ込まないので $R_{1}$ を流れる電流がそのまま $R_{2}$ を流れ、 $\frac{V _{1} - V _{-}}{R _{1}} = \frac{V _{-} - V _{out}}{R _{2}}$ です。これを解くと
$V_{out} = (1 + \frac{R _{2}}{R _{1}}) V_{+} - \frac{R _{2}}{R _{1}} V_{1}$
となり、非反転増幅（第 1 項）と反転増幅（第 2 項）を重ね合わせた形になっています。 $\frac{R _{4}}{R _{3}} = \frac{R _{2}}{R _{1}}$ のときは $V_{out} = \frac{R _{2}}{R _{1}} (V_{2} - V_{1})$ と、差だけに比例します。反転入力端子に複数の入力抵抗をつなぎ $V_{+} = 0$ とすれば、各抵抗の電流の和が帰還抵抗に流れるので加算回路の式になります。

手順

非反転入力端子 $+$ には電流が流れ込まないことを使い、分圧（または $+$ 端子での電流の和 $= 0$ ）で $V_{+}$ を入力電圧で表す。 $+$ 端子が直接接地されていれば $V_{+} = 0$
仮想短絡により $V_{-} = V_{+}$ とおく
反転入力端子 $-$ で、入力抵抗を流れ込む電流の和が帰還抵抗を流れる電流に等しいという式を立てる： $\sum_{k} \frac{V _{k} - V _{-}}{R _{k}} = \frac{V _{-} - V _{out}}{R _{f}}$
この式を $V_{out}$ について解き、入力電圧の 1 次式として整理する
数値が与えられていれば代入する。理想オペアンプとして扱っているので、電源電圧による飽和は問題の指示がない限り考えない

例題

理想オペアンプを用いた差動増幅回路を考える。反転入力端子には、入力電圧 $V_{1}$ が抵抗 $R_{1} = 10 kΩ$ を通してつながり、出力端子との間に帰還抵抗 $R_{2} = 20 kΩ$ がつながっている。非反転入力端子には、入力電圧 $V_{2}$ が抵抗 $R_{3} = 10 kΩ$ を通してつながり、非反転入力端子と接地の間に抵抗 $R_{4} = 30 kΩ$ がつながっている。 $V_{1} = 0.50 V$ , $V_{2} = 1.50 V$ のとき、出力電圧 $V_{out}$ は何 V か。正確な値（分数）で求めよ。

例題の解答

手順 1：非反転入力端子には電流が流れ込まないので、 $R_{3}$ と $R_{4}$ には同じ電流が流れ、分圧により
$V_{+} = \frac{R _{4}}{R _{3} + R _{4}} V_{2} = \frac{30}{40} \times \frac{3}{2} = \frac{9}{8} V$

手順 2：仮想短絡より $V_{-} = V_{+} = \frac{9}{8} V$ 。

手順 3：反転入力端子で、 $R_{1}$ を流れ込む電流が $R_{2}$ を通って出力側へ流れるので
$\frac{V _{1} - V _{-}}{R _{1}} = \frac{V _{-} - V _{out}}{R _{2}}$

手順 4： $V_{out}$ について解くと
$V_{out} = (1 + \frac{R _{2}}{R _{1}}) V_{-} - \frac{R _{2}}{R _{1}} V_{1} = 3 \times \frac{9}{8} - 2 \times \frac{1}{2} = \frac{27}{8} - 1 = \frac{19}{8} V$

（ $\frac{R _{4}}{R _{3}} = 3$ と $\frac{R _{2}}{R _{1}} = 2$ がそろっていないので、単純な $\frac{R _{2}}{R _{1}} (V_{2} - V_{1}) = 2 V$ にはならない。）

答え: $\frac{19}{8}$

よくある誤り

抵抗の比に関係なく差動増幅回路の出力を $V_{out} = \frac{R _{2}}{R _{1}} (V_{2} - V_{1})$ としてしまう誤り。この式は $\frac{R _{4}}{R _{3}} = \frac{R _{2}}{R _{1}}$ のときだけ成り立ち、一般には $V_{out} = (1 + \frac{R _{2}}{R _{1}}) \frac{R _{4}}{R _{3} + R _{4}} V_{2} - \frac{R _{2}}{R _{1}} V_{1}$
非反転入力端子の電位を分圧せずに $V_{+} = V_{2}$ としてしまう誤り。 $+$ 端子と接地の間に $R_{4}$ があれば、正しくは $V_{+} = \frac{R _{4}}{R _{3} + R _{4}} V_{2}$ （上の例では $\frac{3}{2}$ ではなく $\frac{9}{8} V$ ）
反転入力端子の電位を、反転増幅回路のときのように $V_{-} = 0$ としてしまう誤り。仮想短絡は $V_{-} = V_{+}$ であって、 $V_{+} \neq = 0$ のときは正しくは $V_{-} = V_{+}$ を電流の式に代入する
加算回路で各入力の利得を $- \frac{R _{f}}{R _{1} + R _{2}}$ のように抵抗を合成して求めてしまう誤り。各入力抵抗の電流 $\frac{V _{k}}{R _{k}}$ が足し合わされて帰還抵抗に流れるので、正しくは $V_{out} = - R_{f} (\frac{V _{1}}{R _{1}} + \frac{V _{2}}{R _{2}})$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
図のような、理想オペアンプを用いた差動増幅回路を考える。電圧はすべて接地を基準とし、 $R$ は正の定数である。
- 入力電圧 $V_{1}$ は、抵抗値 $R$ の抵抗を通してオペアンプの反転入力端子（ $-$ ）につながる。反転入力端子と出力端子の間には、抵抗値 $2 R$ の抵抗がつながる。
- 入力電圧 $V_{2}$ は、抵抗値 $R$ の抵抗を通してオペアンプの非反転入力端子（ $+$ ）につながる。非反転入力端子は、抵抗値 $2 R$ の抵抗を通して接地されている。
オペアンプは理想的（入力端子に流れこむ電流は $0$ 、負帰還がかかっているとき反転入力端子と非反転入力端子の電位は等しい）とし、入力は直流で、出力は飽和しないものとする。出力電圧 $V_{out}$ を $V_{1}$ , $V_{2}$ を用いて表せ。
$R$ $2 R$ $R$ $2 R$ $-$ $+$ $V_{1}$ $V_{2}$ $V_{out}$

加算回路と差動増幅回路

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題