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電子回路・半導体デバイスの問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理電子回路・半導体デバイス

次のようなオペアンプ回路を考える。入力電圧 $v_{in}$ （接地に対する電圧）は、抵抗値 $R_{1}$ の抵抗と静電容量 $C_{1}$ のコンデンサーを直列に通してオペアンプの反転入力端子（ $-$ ）につながる。反転入力端子と出力端子の間には、抵抗値 $R_{2}$ の抵抗と静電容量 $C_{2}$ のコンデンサーが並列に接続されている。非反転入力端子（ $+$ ）は接地されており、出力電圧 $v_{out}$ は接地に対する出力端子の電圧である。オペアンプは理想オペアンプ（電圧利得が無限大、入力インピーダンスが無限大、出力インピーダンスが $0$ ）とみなし、つねに線形領域で動作するものとする。 $R_{1}, C_{1}, R_{2}, C_{2}$ は正の定数である。

入力が角周波数 $ω (> 0)$ の正弦波のとき、複素電圧利得 $H (ω) = V_{out} / V_{in}$ の大きさ $∣ H (ω) ∣$ はある角周波数で最大値をとる。 $∣ H (ω) ∣$ がその最大値の $\frac{1}{2}$ 倍になる角周波数はちょうど 2 つあり、それらを $ω_{L}, ω_{H} (ω_{L} < ω_{H})$ とする。帯域幅 $ω_{H} - ω_{L}$ を $R_{1}, C_{1}, R_{2}, C_{2}$ を用いて表せ。

R_{1}

C_{1}

R_{2}

C_{2}

-

+

v_{in}

v_{out}

この問題で使うもの

2 次フィルタの周波数特性（説明と入口の問題）
理想オペアンプの反転増幅と非反転増幅（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（56 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

仮想短絡を使って、反転増幅回路と同じように $H = - Z_{2} / Z_{1}$ と表し、入力側と帰還側のインピーダンスを求めよう。

ヒント 2

$τ_{1} = R_{1} C_{1}, τ_{2} = R_{2} C_{2}$ とおくと $H = - \frac{j ω R _{2} C _{1}}{( 1 + j ω τ _{1} ) ( 1 + j ω τ _{2} )}$ 。 $∣ H ∣^{2}$ の分母を $ω^{2}$ で割ると最大値が求めやすい。

ヒント 3

最大値は $∣ H ∣_{m a x} = \frac{R _{2} C _{1}}{τ _{1} + τ _{2}}$ 。 $∣ H ∣^{2} = \frac{1}{2} ∣ H ∣_{m a x}^{2}$ は $ω^{2}$ の 2 次方程式 $τ_{1}^{2} τ_{2}^{2} ω^{4} - (τ_{1}^{2} + 4 τ_{1} τ_{2} + τ_{2}^{2}) ω^{2} + 1 = 0$ になるので、解と係数の関係から $(ω_{H} - ω_{L})^{2}$ を計算しよう。

答えと解説

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\frac{1}{R _{1} C _{1}} + \frac{1}{R _{2} C _{2}}

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解説を読む

複素利得

理想オペアンプが線形領域で動作するので、仮想短絡により反転入力端子の電位は非反転入力端子と同じ $0$ になり、入力インピーダンスが無限大なのでオペアンプに電流は流れ込まない。入力側のインピーダンスを $Z_{1}$ 、帰還側のインピーダンスを $Z_{2}$ とすると、 $Z_{1}$ を流れる電流がそのまま $Z_{2}$ を流れるので
$\frac{V _{in}}{Z _{1}} = - \frac{V _{out}}{Z _{2}}, H = - \frac{Z _{2}}{Z _{1}}$
である。ここで
$Z_{1} = R_{1} + \frac{1}{j ω C _{1}} = \frac{1 + j ω R _{1} C _{1}}{j ω C _{1}}, Z_{2} = \frac{R _{2} \cdot \frac{1}{j ω C _{2}}}{R _{2} + \frac{1}{j ω C _{2}}} = \frac{R _{2}}{1 + j ω R _{2} C _{2}}$
だから、 $τ_{1} = R_{1} C_{1}, τ_{2} = R_{2} C_{2}$ とおくと
$H (ω) = - \frac{j ω R _{2} C _{1}}{( 1 + j ω τ _{1} ) ( 1 + j ω τ _{2} )}$
となる。

最大値

$∣ H ∣^{2} = \frac{ω ^{2} ( R _{2} C _{1} ) ^{2}}{( 1 + ω ^{2} τ _{1}^{2} ) ( 1 + ω ^{2} τ _{2}^{2} )} = \frac{( R _{2} C _{1} ) ^{2}}{\frac{1}{ω ^{2}} + ( τ _{1}^{2} + τ _{2}^{2} ) + ω ^{2} τ _{1}^{2} τ _{2}^{2}}$
分母について、相加平均と相乗平均の関係から $\frac{1}{ω ^{2}} + ω^{2} τ_{1}^{2} τ_{2}^{2} \geq 2 τ_{1} τ_{2}$ （等号は $ω^{2} = \frac{1}{τ _{1} τ _{2}}$ ）なので、分母の最小値は $(τ_{1} + τ_{2})^{2}$ であり
$∣ H ∣_{m a x} = \frac{R _{2} C _{1}}{τ _{1} + τ _{2}}$

$1/ 2$ になる角周波数

$∣ H ∣^{2} = \frac{1}{2} ∣ H ∣_{m a x}^{2}$ とおくと
$(1 + ω^{2} τ_{1}^{2}) (1 + ω^{2} τ_{2}^{2}) = 2 ω^{2} (τ_{1} + τ_{2})^{2}$
展開して整理すると
$τ_{1}^{2} τ_{2}^{2} ω^{4} - (τ_{1}^{2} + 4 τ_{1} τ_{2} + τ_{2}^{2}) ω^{2} + 1 = 0$
これは $ω^{2}$ の 2 次方程式で、正の解 $ω_{L}^{2}, ω_{H}^{2}$ をもつ。解と係数の関係から
$ω_{L}^{2} + ω_{H}^{2} = \frac{τ _{1}^{2} + 4 τ _{1} τ _{2} + τ _{2}^{2}}{τ _{1}^{2} τ _{2}^{2}}, ω_{L}^{2} ω_{H}^{2} = \frac{1}{τ _{1}^{2} τ _{2}^{2}}$
よって $ω_{L} ω_{H} = \frac{1}{τ _{1} τ _{2}}$ で
$(ω_{H} - ω_{L})^{2} = ω_{L}^{2} + ω_{H}^{2} - 2 ω_{L} ω_{H} = \frac{τ _{1}^{2} + 2 τ _{1} τ _{2} + τ _{2}^{2}}{τ _{1}^{2} τ _{2}^{2}} = (\frac{τ _{1} + τ _{2}}{τ _{1} τ _{2}})^{2}$
$ω_{H} - ω_{L} > 0$ なので
$ω_{H} - ω_{L} = \frac{1}{τ _{1}} + \frac{1}{τ _{2}} = \frac{1}{R _{1} C _{1}} + \frac{1}{R _{2} C _{2}}$

別解

反転増幅回路なので $H = - Z_{f} / Z_{in}$ 。 $Z_{in} = R_{1} + \frac{1}{s C _{1}} = \frac{1 + s R _{1} C _{1}}{s C _{1}}$ 、 $Z_{f} = \frac{R _{2}}{1 + s R _{2} C _{2}}$ （ $s = j ω$ ）。
$H = - \frac{s R _{2} C _{1}}{( 1 + s R _{1} C _{1} ) ( 1 + s R _{2} C _{2} )}$ 。 $a = \frac{1}{R _{1} C _{1}}$ 、 $b = \frac{1}{R _{2} C _{2}}$ とおくと $H = - \frac{1}{R _{1} C _{2}} \cdot \frac{s}{( s + a ) ( s + b )}$ （ $R_{2} C_{1} \cdot ab = \frac{1}{R _{1} C _{2}}$ を使った）。 $K = \frac{1}{R _{1} C _{2}}$ とする。
$∣ H ∣ = \frac{K ω}{( ω ^{2} + a ^{2} ) ( ω ^{2} + b ^{2} )}$ 。
最大は $ω_{0} = ab$ で、このとき $(ω_{0}^{2} + a^{2}) (ω_{0}^{2} + b^{2}) = ab (a + b)^{2}$ より $∣ H ∣_{ma x} = \frac{K}{a + b}$ （相加相乗平均により $ω_{0}$ で最大になることも確認できる）。
$∣ H ∣ = \frac{∣ H ∣ _{ma x}}{2}$ とすると $\frac{ω ^{2}}{( ω ^{2} + a ^{2} ) ( ω ^{2} + b ^{2} )} = \frac{1}{2 ( a + b ) ^{2}}$ 。整理して $ω^{4} - (a^{2} + b^{2} + 4 ab) ω^{2} + a^{2} b^{2} = 0$ 。
$ω^{2}$ の 2 解の積は $a^{2} b^{2}$ 、和は $a^{2} + b^{2} + 4 ab$ （判別式 $> 0$ で 2 つの正の解）。よって $ω_{L} ω_{H} = ab$ 、 $ω_{L}^{2} + ω_{H}^{2} = a^{2} + b^{2} + 4 ab$ 。
$(ω_{H} - ω_{L})^{2} = a^{2} + b^{2} + 4 ab - 2 ab = (a + b)^{2}$ より $ω_{H} - ω_{L} = a + b = \frac{1}{R _{1} C _{1}} + \frac{1}{R _{2} C _{2}}$ 。
検算: $a = b = 1$ のとき $ω^{4} - 6 ω^{2} + 1 = 0$ 、 $ω^{2} = 3 \pm 22 = (2 \pm 1)^{2}$ 、 $ω_{H} - ω_{L} = 2 = a + b$ で一致。

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