電子回路・半導体デバイスの問題

図のように、起電力 $v_i$（角周波数 $\omega$ の正弦波）で内部抵抗 $R_s=40\Omega$ の交流電圧源に、インダクタンス $L=10\mathrm{mH}$ のコイル、静電容量 $C=1.0\mu \mathrm{F}$ のコンデンサー、抵抗 $R=60\Omega$ の抵抗をこの順に直列につなぎ、抵抗 $R$ の両端の電圧を出力電圧 $v_o$ とする帯域通過フィルタがある。出力端子には何もつながっていない。

電圧伝達関数の大きさ $|v_o/v_i|$ が、その最大値の $1/\sqrt{2}$ 倍になる角周波数のうち、小さい方を ${\omega }_L$、大きい方を ${\omega }_H$ とする。${\omega }_L$ と ${\omega }_H$（単位はいずれも $rad/s$）を、根号を用いた正確な値で、この順に組 $({\omega }_L,{\omega }_H)$ として求めよ。ただし、コイル・コンデンサーは理想素子とし、回路は定常状態にあるものとする。

図のように、角周波数 $\omega$ の正弦波交流電圧 $v_{\mathrm{in}}$ を出す理想的な交流電源（内部インピーダンス $0$）に、抵抗値 $R$ の抵抗と自己インダクタンス $L$ のコイルを直列に接続し、コイルの両端の電圧を出力電圧 $v_{\mathrm{out}}$ として取り出す。出力端子には何も接続しない（開放）。コイルの抵抗は無視でき、$R>0$, $L>0$, $\omega >0$ とする。

出力電圧の振幅が入力電圧の振幅のちょうど $\frac{1}{2}$ になる角周波数 $\omega$ を、$R$, $L$ を用いて表せ。

図のように、抵抗値 $R=2.0\mathrm{k\Omega }$ の抵抗と自己インダクタンス $L=50\mathrm{mH}$ のコイルを直列につなぎ、両端に周波数 $f$ の正弦波交流電圧 $v_{\mathrm{in}}$ を加え、コイルの両端の電圧を出力電圧 $v_{\mathrm{out}}$ として取り出す。コイルの巻線の抵抗は無視でき、出力端子には何もつながっていない（出力端子に流れる電流は $0$）とする。電源の内部インピーダンスは $0$ とする。

この回路の電圧伝達関数の大きさ $\left|\frac{V_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{in}}}\right|$ が、周波数を十分高くしたときの値の $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍になる周波数を遮断周波数 $f_c$ とする。$f_c$ は何 Hz か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、円周率は $\pi =3.14$ とする。

図のように、抵抗値 $R$ の抵抗 2 個と静電容量 $C$ のコンデンサー 2 個を用いて、RC 低域通過フィルタを 2 段、間に緩衝増幅器を入れずにはしご形に接続した回路を考える。入力電圧 $V_{\mathrm{in}}$ は 1 段目の抵抗を通して節点に加わり、この節点と接地の間に 1 段目のコンデンサーがつながる。さらにこの節点から 2 段目の抵抗を通って出力端子に至り、出力端子と接地の間に 2 段目のコンデンサーがつながる。出力電圧 $V_{\mathrm{out}}$ は 2 段目のコンデンサーの両端の電圧である。

入力には内部インピーダンス $0$ の理想的な正弦波交流電圧源（角周波数 $\omega$）をつなぎ、出力端子には何もつながない（開放）。素子はすべて理想的とし、回路は正弦波定常状態にあるとする。

電圧伝達関数 $H(j\omega )=V_{\mathrm{out}}/V_{\mathrm{in}}$ の大きさが、直流（$\omega \to 0$）での値の $1/\sqrt{2}$ 倍になる角周波数を遮断角周波数 ${\omega }_c$ とする。${\omega }_c$ を $R$, $C$ を用いて表せ。

図のような、理想オペアンプを用いたアクティブフィルタを考える。

• 入力端子から、抵抗値 $R$ の抵抗と静電容量 $C$ のコンデンサーを直列に通して、オペアンプの反転入力端子（$-$）につなぐ。
• 反転入力端子と出力端子の間には、抵抗値 $3R$ の抵抗と静電容量 $\frac{C}{2}$ のコンデンサーを並列に接続する。
• 非反転入力端子（$+$）は接地する。

入力端子間に角周波数 $\omega$（$\omega >0$）の正弦波電圧 $v_{\mathrm{in}}$ を加えた定常状態で、出力電圧を $v_{\mathrm{out}}$ とし、電圧利得を $G(\omega )=\left|\frac{V_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{in}}}\right|$（$V_{\mathrm{in}},V_{\mathrm{out}}$ はそれぞれの複素振幅）と定める。

オペアンプは理想的（開ループ利得が無限大、入力インピーダンスが無限大、出力インピーダンスが $0$）で、飽和せず線形に動作するものとする。

$G(\omega )$ の最大値を $G_{\max }$ とする。$G(\omega )=\frac{G_{\max }}{\sqrt{2}}$ となる角周波数は 2 つある。小さい方を低域遮断角周波数 ${\omega }_L$、大きい方を高域遮断角周波数 ${\omega }_H$ とするとき、${\omega }_L$ と ${\omega }_H$ を $R,C$ を用いて表し、この順に答えよ。